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Olimpiadas Internacionales
Problemas Resueltos Nº 4 2006

Olimpiadas Internacionales
Problemas Resueltos Nº 4 2006

Problema 1 Están cuatro personas jugando un juego con las siguientes reglas: El 1o. puede sentarse (si está parado) o pararse (si está sentado), en cualquier jugada. El 2o. puede sentarse o pararse únicamente cuando el primero está parado. El 3o. puede sentarse o pararseúnicamente cuando el 1o. esta sentado y el 2o. están parados. El 4o. puede cambiar de posición únicamente cuando el 3o. está parado y los demás (1o. y 2o.) están sentados. Además en cada jugada solo un jugador cambia de posición. Si al comenzar el juego todos están sentados. ¿Como hacemos para que al final todos los jugadores estén parados?
Fuente: Olimpíadas Colombianas de Matemáticas de PrimariaSchool

Problema 3 Encontrar un número de tres dígitos en base 16, que tenga los mismos dígitos que en base 10 pero en orden invertido, y que represente el mismo número.
Fuente: School Science and Mathematics – Problema 3600

Solución 100a+10b+c=256c+16b+a 99a=6b+255c 33a=2b+85c a y c tienen que ser o los 2 impares o los 2 pares. Además a > c Además c tiene que ser menor que 5 porque 85*5=425 yaunque a fuera 9 no habría valor suficiente para b.
Solución: Pablo Adrián Sussi

Enseguida vemos que para c=1, y a=3

⇒ b=7
Con lo que el número en base 16 sería 173 que equivale al 371 en base 10

Solución Pues la solución más corta que encontré es la siguiente 1) El primero se para 2) Se para el segundo 3) se sienta el primero 4) Se para el tercero 5) Se para el primero
Solución: PabloAdrián Sussi

6) Se sienta el segundo 7) Se sienta el primero 8) Se para el cuarto 9) Se para el primero 10) Se para el segundo

Problema 4 Encuentre dos números de tres cifras cada uno, usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 exactamente una vez, de tal manera que la diferencia entre ellos (la mayor menos la menor) sea la menor posible
Fuente: XX Olimpiada Brasileira de Matemática – 1998 –Problema 2

Solución Para que la diferencia sea la menor posible, los números deben ser lo mas próxiEn la figura de la izquierda, los segmentos de recta r y s son paralelos. Hallar la suma de los ángulos A, B, C, D, E F mos posibles. Asimismo las cifras de las centenas deben ser consecutivas. La mejor solución es aquella en que las decenas formadas por las cifras restantes tengan
Solución: AldoProblema 2

la mayor diferencia posible, lo que ocurre para las decenas 65 y 12. Asimismo, las cifras de las centenas deben ser 3 y 4. El menor número que empiece con 4 es 412 y el mayor que empiece con 3 es 365, cuya diferencia es 47.

Solución Sea P un punto donde se encuentran BF y AD. Por P pasamos la recta t paralela a r y a s. Esta recta divide al ∠ APB, en un ángulo igual a E+F y otroigual a C+D. Por lo tanto la suma de los ángulos internos del triángulo APB es A+B+C+D+E+F = 180º.

Problema 5 Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD son perpendiculares. Por los puntos medios de AB y AD se trazan las perpendiculares a los lados opuestos correspondientes CD y BC. Demostrar que estas líneas se intersecan en un punto sobre AC.____________________________________________________________

_________________________ EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD Pág. 1 lococrux@hotmail.com

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_________________________ EL CONOCIMIENTO ES PATRIMONIO DE LA HUMANIDAD Pág. 2 lococrux@hotmail.com

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Problemas Resueltos Nº 4 Fuente: Problema 1 – New Zealand Olympiad – 19982006

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Problemas Resueltos Nº 4 2006

tanto las dos líneas perpendiculares trazadas y AC son prolongaciones de las alturas del triángulo MNK y se cortan en el ortocentro Problema 9 Un viajero pide la mano de la hija del sultán. Para tenerla, le dice, deberás deducir el color de los ojos de estas cinco esclavas. Las cinco tendrán los ojos vendados para que no...