Logica

Cap´ıtulo 1

L´
ogica
La l´ogica se usa para determinar la validez de sentencias. No estudia el significado de las sentencias, por el contrario, establece las reglas que permiten juzgar la validez de los argumentos. Las
reglas que la l´
ogica proporciona nos permite evaluar cuando una conclusi´on deducida de ciertas
premisas es consistente con esas premisas o cuando hay una falla en los pasosseguidos durante el
proceso deductivo que dar´ıan sustento a la validez de la conclusi´on.

1.1.

Proposiciones y tablas de verdad

Una proposici´
on es un enunciado declarativo que es verdadero o falso, pero no ambos simult´
aneamente. A las proposiciones tambi´en se le llama sentencias. Algunos ejemplos de proposiciones son:
1. Esta rosa es blanca.
2. Los tri´
angulos tienen cuatro v´ertices.
3. 3+ 2 = 4.
4. 6 < 24.
5. Ma˜
nana es mi cumplea˜
nos.
Obs´ervese que la misma proposici´
on puede algunas veces ser cierta y algunas veces falsa dependiendo del lugar, el tiempo, y por quien fue enunciada. Por ejemplo, la proposici´on (5) ser´a verdadera
si para quien la dijo ma˜
nana es su cumplea˜
nos, y falsa para cualquier otra persona. M´as a´
un, para
quien es cierta la sentencia el d´ıa dehoy, ser´a falsa en los dem´as d´ıas. Similarmente, la validez o
falsedad de la sentencia (1) depende en que contexto la sentencia fue emitida.

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CAP´ITULO 1. LOGICA

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Los enunciados exclamativos, interrogativos e imperativos no son proposiciones, pues no podemos calificarlos como verdaderos o falsos. As´ı, las siguientes oraciones no son proposiciones:
6. No te metas al jard´ın.
7. ¡Viva elrey.!
8. ¿Fuiste a la fiesta de Carlos?
9. No digas eso.
La veracidad (T) o falsedad (F) de una proposici´on se conoce como su valor de verdad. La
proposici´on (4) tiene un valor de verdad verdadero (T) y las proposiciones (2) y (3) tienen valores
de verdad falso (F). Los valores de verdad de las proposiciones (1) y (5) depende de las circunstancias en las que la sentencia fue enunciada. Lassentencias de 6-9 no son proposiciones, en
consecuencia no se les puede asignar valores de verdad.
Por convenci´
on, cualquiera de estos s´ımbolos p, q, r, . . . puede representar una proposici´
on espec´ıfica, por ejemplo,
p : Culiac´
an est´
a en Sinaloa,
q : Los mamutes est´
an extintos.
Tambi´en estas letras se usan para representar una proposici´on arbitraria, es decir, se usan como
variables cuyovalor es una proposici´
on conveniente.

1.2.

Conectivos l´
ogicos y tablas de verdad

Las proposiciones 1-5 de §1.1 son proposiciones simples, dado que ellas representa a una sola
sentencia. En esta secci´
on veremos como las proposiciones simples pueden combinarse para que
formen sentencias m´
as complicadas que llamaremos proposiciones compuestas. Los s´ımbolos que
se usan para ligar pares desentencias se conocen como conectivos l´
ogicos y el valor de verdad de
cualquier sentencia compuesta est´
a completamente determinado por (a) los valores de verdad de
sus proposiciones componentes simples, y (b) por los conectivos l´ogicos que las ligan.
Antes de estudiar los conectivos l´
ogicos m´as usuales, primero se ver´a una operaci´on que puede
efectuarse en una proposici´
on. Estaoperaci´on se conoce como negaci´
on y tiene el efecto de cambiar
el valor de verdad de la proposici´
on. Para negar una sentencia, se le prefija el enunciado “no es el
caso que ...”. Esta no es la u
´nica manera de negar una sentencia, pero lo que es importante es que la
negaci´on es falsa siempre que la proposici´on sea verdadera, y verdadera en todas las circunstancias

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1.2. CONECTIVOS LOGICOS
YTABLAS DE VERDAD

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en que la proposici´
on sea falsa. Podemos resumir esto en una tabla. Si p representa una proposici´
on,
¬p (tambi´en −p, p¯ o ∼ p) representa la negaci´on de p. La siguiente tabla representa los valores de
verdad de p y los de ¬p.
p
T
F

¬p
F
T

La columna izquierda da los valores de verdad para p y la columna derecha da los valores de
verdad correspondientes a ¬p, la...