Logica

LÓGICA DE SEGUNDO ORDEN
Una lógica de segundo orden es una extensión de una lógica de primer orden en la que se añaden variables para propiedades y cuantificadores que operan sobre esas variables. Así se expande el poder expresivo del lenguaje sin tener que agregar nuevos símbolos lógicos. Por ejemplo, en una lógica de primer orden es posible decir "esta esmeralda es verde", pero no es posibledecir "el verde es un color", porque una lógica de primer orden sirve para hablar acerca de individuos (como esta esmeralda), pero no acerca de propiedades (como verde). En cambio, una lógica de segundo orden no tiene esa limitación, y por lo tanto permite escribir:

Además, una lógica de segundo orden también puede cuantificar sobre propiedades. Gracias a eso puede expresar, por ejemplo, quetodo individuo o tiene una propiedad o no la tiene:

O el principio de identidad de los indiscernibles:2

Sin embargo, lo que se gana en poder expresivo se pierde en metateoría. Existen propiedades metateóricas generalmente consideradas deseables que las lógicas de segundo orden no tienen y las lógicas de primer orden sí. Por ejemplo, las lógicas de segundo orden (con semánticas estándar)son incompletas.3 Quiere decir que no puede haber ningún sistema deductivo finito a partir del cual se puedan demostrar todas las verdades lógicas expresables en el lenguaje.3 Esto es: el conjunto de las verdades del sistema es mayor que el conjunto de las verdades demostrables en el sistema. Esto se debe a que las lógicas de segundo orden tienen el poder expresivo suficiente para ser afectadas porlos teoremas de incompletitud de Gödel.

LÓGICA MODAL
Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de algún grupo de operadores modales.1 Los operadores modales son expresiones que califican la verdad de los juicios.1 Por ejemplo, en la oración "es necesario que 2+2=4", la expresión "es necesario que" es un operador modal que califica de necesaria a la verdaddel juicio "2+2=4".
En un sentido más restringido, sin embargo, se llama lógica modal al sistema formal que se ocupa de las expresiones "es necesario que" y "es posible que".1 Este artículo trata exclusivamente sobre este sistema formal. Otros sistemas de lógica modal conocidos son la lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica y la lógica doxástica.

Sistema formal

VocabularioLa lógica modal sólo agrega dos símbolos al vocabulario de la lógica proposicional: el símbolo  , que representa la expresión del lenguaje natural "es necesario que", y el símbolo , que representa la expresión "es posible que". Ambos símbolos se prefijan a proposiciones, de modo que  se lee "es necesario que p", y  se lee "es posible que p". Además, en la lógica modal clásica, ambos símbolos soninterdefinibles por medio del otro y de la negación; así:

Esto implica que en principio, sólo es necesario tomar uno de los dos símbolos como primitivo, ya que el otro puede ser definido a partir de éste y del vocabulario de la lógica proposicional. En general, el símbolo que se toma como primitivo es el de necesidad. Estas interdefiniciones son paralelas a las de los cuantificadores enla lógica de primer orden:

Las razones de este paralelismo resultarán más claras en la sección de semántica de mundos posibles.
Gramática
La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bien construidas. A estas secuencias se las llama fórmulas bien formadas. La gramática de la lógica modal es igual a la de la lógica proposicional, excepto que añade una regla para losoperadores modales, la cual ya fue indicada informalmente en la sección anterior:
* Si  es una fórmula bien formada, entonces  también lo es.
Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas del lenguaje serán, por lo tanto:

Reglas de inferencia
La regla de inferencia más propia de la lógica modal se llama N (o regla de Necesitación), y dice que si una fórmula  es un teorema, entonces "es...