Logistica

EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
´ MATEMATICAS IV (PRIMAVERA 2010)

´ 1. Conceptos basicos de demograf´ ıa Nos interesa describir el crecimiento de la poblaci´n de una especie abstracta P . o Para ello existen muchos m´todos, pero en el curso utilizaremos una herramienta e fundamental: las ecuaciones diferenciales ordinarias. Sea P (t) el n´mero de especies de la poblaci´n P en el tiempot. Sea B(t) el u o n´mero de nacimientos de especies P en el intervalo de tiempo [0, t] y sea D(t) el u n´mero de muertes de especies P en el intervalo de tiempo [0, t]. u Definici´n 1. La tasa de natalidad de la poblaci´n P en un intervalo de tiempo o o [t1 , t2 ] ser´ definida por a (1.1) 1 B(t2 ) − B(t1 ) . P (t1 ) t2 − t1

Definici´n 2. La tasa de mortalidad de la poblaci´n P en un intervalo detiempo o o [t1 , t2 ] ser´ definida por a (1.2) 1 D(t2 ) − D(t1 ) . P (t1 ) t2 − t1

La tasa de crecimiento poblacional per c´pita en un intervalo de tiempo [t1 , t2 ] a vendr´ dada por a (1.3) 1 P (t2 ) − P (t1 ) P (t1 ) t2 − t1

Una hip´tesis simplificativa del modelo es la ausencia de inmigraci´n y emio o graci´n. Por lo tanto, la tasa de crecimiento per c´pita de la poblacion P en un o aintervalo de tiempo [t1 , t2 ] vendr´ dada exclusivamente por la diferencia de las tasas a de natalidad y mortalidad: (1.4) 1 P (t2 ) − P (t1 ) 1 B(t2 ) − B(t1 ) 1 D(t2 ) − D(t1 ) = − . P (t1 ) t2 − t1 P (t1 ) t2 − t1 P (t1 ) t2 − t1 2. Modelo de Malthus En An Essay on the Principle of Population (1798), el economista brit´nico T. a Malthus consider´ los siguientes supuestos: o (M1) La tasa demortalidad en el intervalo de tiempo [t, t+h] satisface la propiedad (2.1)
Date: Julio 2010.
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1 D(t + h) − D(t) =d P (t) h

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(M2) La tasa de natalidad en el intervalo de tiempo [t, t+h] satisface la propiedad (2.2) 1 B(t + h) − B(t) =b P (t) h con b > 0.

Entonces, la tasa de crecimiento per c´pita de la poblaci´n P en el intervalo de a o tiempo [t, t + h] puede ser calculada mediante laecuaci´n (1.4), combinada con las o ecuaciones (2.1) y (2.2): 1 P (t + h) − P (t) =b−d P (t) h Si multiplicamos ambas ecuaciones por P (t), se obtiene: P (t + h) − P (t) = (b − d)P (t). h Luego, hacemos el paso al l´ ımite h → 0:
h→0

lim

P (t + h) − P (t) = (b − d)P (t), h

Aplicando la definici´n de derivada en la parte izquierda, se tiene la ecuaci´n de o o Malthus (2.3) P (t) = (b − d)P(t).

Es f´cil notar que si la poblaci´n inicial en t = 0 es P0 , entonces la ecuaci´n (2.3) a o o tiene como soluci´n o (2.4) Adem´s, notemos que: a • Si b = d, entonces P (t) = P0 para todo t ≥ 0. • Si b < d, entonces lim P (t) = 0. • Si b > d, entonces lim P (t) = +∞.
t→+∞ t→+∞

P (t) = P0 e(b−d)t .

Una de las consecuencias del modelo malthusiano es que si la tasa de natalidad es menora la tasa de mortalidad se tiene un decreciemiento exponencial (y una eventual extinci´n) de la poblaci´n. Por otro lado, si la tasa de natalidad es mayor o o a la poblaci´n se tiene un crecimiento exponencial de la poblaci´n. Esta ultima o o ´ situaci´n se la llamo cat´strofe malthusiana y marc´ profundamente el panorama o a o cient´ ıfico e intelectual de la primera mitad del siglo XIX. 3.Modelo de Verhulst El trabajo del dem´grafo Belga F. Verhulst consider´ los siguientes supuestos: o o (V1) La tasa de mortalidad en el intervalo de tiempo [t, t+h] satisface la propiedad (3.1) 1 D(t + h) − D(t) = d. P (t) h 1 B(t + h) − B(t) = b0 − b1 P (t), P (t) h

(V2) La tasa de natalidad en el intervalo de tiempo [t, t+h] satisface la propiedad (3.2) con b0 , b1 > 0.

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Notemos que elgr´fico Y (P ) versus P , donde Y (P ) es la parte derecha de a la ecuaci´n (3.2) y describe una recta que toma valores positivos en el intervalo o (0, b0 /b1 ). Es decir, la natalidad es inversamente proporcional al tamanio de la poblaci´n. o Entonces, la tasa de crecimiento per c´pita de la poblaci´n P en el intervalo de a o tiempo [t, t + h] puede ser calculada mediante la ecuaci´n (1.4),...