logistica

Base ortonormal 22000999
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En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, enparticular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una baseortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho,esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que lacompone es unitaria.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de'span', como se usa en álgebra lineal.
Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de unnúmero finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en elespacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá unabase ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.
Ejemplos
El conjunto {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} (la base canónica) forma una base ortonormal de R3.
Demostración: Mediante un cálculodirecto se verifica que 〈e1, e2〉 = 〈e1, e3〉 = 〈e2, e3〉 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. Así, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos

entonces,...