logoritmos

Introducción

Los logaritmos fueron descubiertos para acelerar y simplificar el cálculo. Neper, inventor de las primeras tablas de logaritmos, refiere así el propósito que le animaba: “En la medida de mis capacidades, me proponía evitar las difíciles y aburridas operaciones de cálculo, cuyo fastidio constituye una pesadilla para muchos que se dedican al estudio de las matemáticas”.
En efecto,los logaritmos facilitan y aceleran en grado sumo los cálculos, sin hablar ya de que permiten realizar operaciones que serían en extremo complejas si no los aplicáramos (extracción de raíces de cualquier índice).
Laplace escribió con todo fundamento que “con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de losastrónomos”.
El famoso matemático se refería a los astrónomos por cuanto se ven obligados a hacer cálculos agotadores y de singular complejidad. Mas sus palabras pueden ser aplicadas con pleno derecho a todos aquellos que operan con números.
LOGARITMOS
El logaritmo en base a(> 0 y „ 1) de un número N es el exponente al que hay que elevar la base

para que dé dicho número:
loga N = xax = N

Los logaritmos de base 10 se llaman decimales1 y se representaban por log, y los logaritmos de base el número e se llaman naturales o neperianos y se representaban por lno L.

Propiedades elementales:
1) loga a =1 y loga1 = 0
2) loga ax = x

Otras propiedades:
3) loga(MN)= loga M + loga N

M
4) loga = loga M - loga N siempre que N „ 0 Ł N ł

5) loga Nm = mlogaN "m ˛R

Transformación de logaritmos:
6) loga N = ln N o mas generalmente loga N = logb N lna logb a

Otras propiedades:
1
7) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y son opuestos.
a
8) Conocidos los logaritmos en una base mayor que 1 se pueden hallar fácilmente en cualquier otra base.


ECUACIONES EXPONENCIALES
Una ecuación es exponencialcuando la incógnita aparece en el exponente.

Vamos a resolver los siguientes tipos de ecuaciones exponenciales:
1) Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base
2) Resolubles por cambio de variable

Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base
Para resolverlas, generalmente se descomponen en factores primos las bases, y se realizan las operaciones necesarias hastaconseguir una igualdad de potencias con la misma base.

Ejemplo 1:
Resolver la ecuación 41-3x = 2x-2

(22)1-3x = 2x-2 Descomponemos en factores la base 4
22 1( -3x) = 2x-2 Potencia de una potencia: se deja la base y se
multiplican los exponentes
2 1( - 3x)= x - 2 Igualamos los exponentes (ya que las potencias
tienen la misma base)
2 - 6x = x - 2 Quitamos paréntesis-6x - x =-2 - 2 Agrupamos: las x a un miembro y los números
al otro
-7x =-4 Operamos
-4 4 Resolvemos: el coeficiente de x, pasa al otro
x = =
-7 7 miembro diviendo, pero con su signo.

Ejemplo 2:
Resolver la ecuación 3 43x = 768

43x = El 3 que está muliplicando, pasa dividiendo.

43x = 256 Efectuamos la división
(22)3x = 28 Descomponemos en factores primoslas bases.

26x = 28 Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.
6x = 8 Igualamos los exponentes.
x = = Resolvemos.

Resolubles por cambio de variable
Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que conseguir (factorizando las bases, aplicando las propiedades de las potencias…) que todas las exponenciales que aparezcan sean la misma. Dicha exponencial nos da elcambio de variable que hay que hacer. Al realizar dicho cambio queda una ecuación de las que ya sabemos resolver (de primer grado, de segundo, bicuadradas...).

Ejemplo 3:
Resolver la ecuación 9x -8 3x -5913 = 0

(32)x - 8 3x - 5913 = 0 Descomponemos 9 en factores primos.

(3x)2 - 8 3x - 5913 = 0 Intercambiamos los exponentes. y2 - 8y - 5913 = 0 Hacemos el cambio de variable 3x =...