Lola

GENERALIDADES

Desde los primeros pasos en el c´lculo diferencial, de todos es conocido que, dada una a dy funci´n y = f (x), su derivada dx = f ′ (x) es tambi´n una funci´n que se puede encontrar o e o 3 dy −x3 mediante ciertas reglas. Por ejemplo, si y = e , entonces dx = −3x2 e−x o, lo que es dy lo mismo, dx = −3x2 y. El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular derivadas defunciones; m´s bien, el problema consiste en: si se da una ecuaci´n como a o dy = −3x2 y, hallar de alguna manera una funci´n y = f (x) que satisfaga dicha ecuaci´n. o o dx En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.
dy La forma de ecuaci´n diferencial m´s sencilla que puede pensarse es dx = f (x). o a Resolverla consiste en encontrar una funci´n cuya derivada sea f (x), esdecir, encontrar o las primitivas (integrales indefinidas) de f (x). Por tanto, podemos decir que los m´todos e o a de resoluci´n de ecuaciones diferenciales constituyen una generalizaci´n del c´lculo de o primitivas.

Definici´n 1. Llamamos ecuaci´n diferencial (E. D.) a una ecuaci´n que relaciona o o o una funci´n (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y o susderivadas. Si la ecuaci´n contiene derivadas respecto a una sola variable independiente o entonces se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las o derivadas parciales respecto a dos o m´s variables independientes se llama ecuaci´n en a o derivadas parciales (E. D. P.). Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son dy − 4y = 2, dx y d2 y −4 dx2 mientras que xy dy dx (x + 2y) dx − 3y dy = 0
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(1)

+ 3y = 0;

(2)

∂u ∂u +y =u ∂x ∂y

(3)

∂2u ∂u ∂ 3u = 2 −4 3 ∂x ∂t ∂t son ecuaciones en derivadas parciales. 1

(4)

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M´todos cl´sicos de resoluci´n de E. D. O. e a o

Otro tipo de ecuaciones que pueden estudiarse son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo), como es el caso de u′ (t) = 7 − 2u(t − 3). Est´n caracterizadaspor la presencia de un desplazamiento t − t0 en el argumento de la a funci´n inc´gnita u(t). En general, son m´s dif´ o o a ıciles de manejar que las E. D. sin retraso. No nos ocuparemos aqu´ de ellas. ı Definici´n 2. Se llama orden de la ecuaci´n diferencial al orden de la derivada o derivada o o parcial m´s alta que aparece en la ecuaci´n. a o As´ por ejemplo, las ecuaciones (1) y (3) son de orden1, (2) es de orden 2 y (4) de ı, orden 3. En lo que sigue nos preocuparemos s´lo de ecuaciones diferenciales ordinarias y, como o no habr´ lugar a confusi´n, las denominaremos simplemente E. D. Por lo general, salvo a o que el contexto nos indique otra notaci´n (o ´sta provenga de los cambios de variable que o e efectuemos), utilizaremos x para denotar la variable independiente e y para lavariable dependiente. Definici´n 3. Decimos que una ecuaci´n diferencial (de orden n) est´ expresada en forma o o a impl´ ıcita cuando tiene la forma F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 siendo F una funci´n F : Ω ⊂ Rn+2 −→ R con Ω un subconjunto (generalmente abierto) o de Rn+2 . Y decimos que est´ expresada en forma expl´ a ıcita cuando tenemos y (n) = f (x, y, y ′, . . . , y (n−1) ) con f : D ⊂ Rn+1 −→ Runa funci´n definida en un subconjunto D (generalmente abierto) o n+1 de R . Una clase importante de E. D., bien estudiada y con buenas propiedades, es la siguiente: Definici´n 4. Se dice que una ecuaci´n diferencial es lineal si tiene la forma o o an (x) dn y dn−1 y dy + an−1 (x) n−1 + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x); dxn dx dx

y se llama lineal homog´nea si, adem´s, g(x) = 0. Dada una ecuaci´nlineal, su e a o correspondiente ecuaci´n lineal homog´nea en la que se ha hecho g(x) = 0 se denomina o e lineal homog´nea asociada. Una ecuaci´n que no es lineal se dice no lineal. e o Nuestro objetivo es resolver ecuaciones diferenciales, esto es, encontrar sus soluciones.

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Definici´n 5. Decimos que una funci´n y = ϕ(x) definida en un intervalo I (es decir, o o ϕ: I ⊂ R...