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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DECANATO DE DOCENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
ASIGNATURA MATEMÁTICA I. (Código 0826101 )
LAPSO ACADÉMICO 2011-1

UNIDAD 3
LÍMITES Y CONTINUIDAD

Elaborada por:
Profa. Jeraldyne Moncada.
Prof. Leonardo Pérez
Material didáctico en revisión

San Cristóbal, junio 2011

3.1. LÍMITES
En una forma muygeneral se puede decir que el objetivo del estudio de límites
consiste en que dada una función f se debe indagar el comportamiento que tienen las
imágenes f ( x ) cuando la variable x se encuentra muy cerca del valor c .

3.1.1. CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE
En la Figura 1.1 se observa que a medida
que x se encuentra mas cerca del valor c , las
imágenes f ( x ) se acercan al valor L, entoncesel
límite de f ( x ) , cuando x tiende a c , es L.
Simbólicamente se escribe: lim f ( x ) = L.
x →c

Es importante aclarar que

f ( c ) es el

comportamiento de la función f en el punto c,
mientras

que

lim f ( x ) = L
x →c

describe

el

comportamiento de la función f para valores de x
próximos al punto c.

3.1.2. DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES
♦

Limite lateral de f( x ) por la izquierda de c : lim f ( x ) = L
−
x →c

describe el

comportamiento de las imágenes de la función f para valores de x muy cercanos a
c por la izquierda.

2

♦

Limite lateral de f ( x ) por la derecha de c : lim f ( x ) = L
+
x →c

describe el

comportamiento de las imágenes de la función f para valores de x muy cercanos a
c por la derecha.

3.1.3. EXISTENCIADEL LÍMITE
El límite de f cuando x tiende a c existe si y sólo si los límites laterales son
iguales, de manera simbólica, lim f ( x ) = L existe si y sólo si lim f ( x ) = lim f ( x ) .
−
+
x →c

x →c

x →c

3.1.4. PROCEDIMIENTO PARA ESTIMAR EL VALOR DE UN
LÍMITE
1. Procedimiento numérico: construyendo una tabla de valores donde se tomen
valores muy cercanos (por la derecha y por laizquierda) al punto al cual tiende el
límite y luego calcular la imagen de dichos valores.
2. Procedimiento gráfico: dibujando la gráfica.
3. Procedimiento analítico: utilizando el álgebra o el cálculo.

3.1.5. ALGUNOS COMPORTAMIENTOS TÍPICOS ASOCIADOS A
LA NO EXISTENCIA DE UN LÍMITE
1. f(x) tiende a números diferentes según x tiende a c por la derecha o por la izquierda.
En la Figura 1.2,se ilustra la situación planteada, por lo tanto se afirma que
lim f ( x ) no existe.
x →0

3

2. f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c, es decir, que las imágenes f(x) se
hacen cada vez más grandes, o más pequeñas, cuando x asume valores cercanos a c.
En la Figura 1.3, se ilustra la situación planteada, por lo tanto se afirma que
lim f ( x ) no existe.

x →−3

3. f(x)oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c. En la Figura 1.4, se ilustra la
situación planteada, por lo tanto se afirma que lim f ( x ) no existe.
x →0

ACTIVIDAD Nº 1
Resolver los ejercicios que se indican a continuación:

AUTOR

TÍTULO DEL LIBRO

PITA, C. (1.998)

Cálculo en una variable

EJERCICIOS
Ejercicios 2.1, pp 70 y 71

1. Estimar por el procedimiento numérico ygráfico el valor del limite lim f ( x ) = L
x→c

a. f ( x ) = x 2 − 2 x + 4, c = 1

(

)

b. f ( x ) = sgn x 2 − 1 , c = 1

4

2. ¿Verdadero o falso? Decir que lim f ( x ) = L significa que f (c) = L .
x →c

3. ¿Verdadero o falso? Si f (c) no existe, entonces el límite lim f ( x ) no existe.
x→c

4. ¿Verdadero o falso? Si el límite lim f ( x ) no existe, entonces f (c) tampocoexiste.
x→c

5. Considere la función f ( x) =

x2 + 2x − 3
x −1

a) ¿Existe f (1) ?
b) Estudiar numéricamente el comportamiento de f alrededor de 1, es decir, estimar el
valor del lim f ( x ) .
x →1

6. Considere la función f ( x) =

x2 + 3 − 2
x −1

a) ¿Existe f (1) ?
b) Estudiar numéricamente el comportamiento de f alrededor de 1, es decir, estimar el
valor del lim f ( x ) ....