LOMBRICOMPOSTA

Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constontes

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16. (1 - x’)y” - 2xy’ = 0; y, = 1
417. x2yn - xy’ + 2y = 0; y1 = x sen(ln x)
18. x2yu - 3xy’ + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln x)
4 19. (1 + 2x)y” + 4xy’ - 4y = 0; y1 = F2*
20. (1 + x)y” + xy’ - y = 0; y1 = x
J 21. x2y” - xy’ + y = 0; y; = x
22. x2y” - 2oy = 0; y, = x-4
J23. x2y” - 5xy’ + 9y = 0;

24. x2yv + xy’ + y= 0;

y1 = x3 In x
yl = cos(ln x)

Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuación no homogénea
dada en los problemas 25 a 28. La función indicada, y,(x), es una solución de la ecuación
homogénea asociada. Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una
solución particular de la ecuación no homogénea.
425. y” - 4y = 2; y1 = em2”
J26. y” + y’ = 1;y1 = 1
:z ;” 1 i;’ 1 i; z *““;, = ; e”
I
1
. II
7

29. a) Compruebe por sustitución directa que la ecuación (5) satisface la ecuación (3).
b) Demuestre que W(yr(x), yz(x)) = u’yt2 = e-Ip(X)dx.
Problema para discusión

!

30. a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden uy” + by’ +
cy = 0, a, b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución de laforma
yl = emI’, donde mr es una constante.
b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte a) debe tener, en consecuencia, una
segunda solución de la forma y2 = emp o de la forma y2 = xemlx, donde mr y m2 son
constantes.
c) Vuelva a revisar los problemas 1 a 10. ¿Puede explicar por qué las respuestas a los
problemas 5 a 7 no contradicen las afirmaciones en las partes a) y b)?ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
n Ecuaciôn auxiliar H Raíces de una ecuaci& auxiliar cuadrática n Fórmula de Euler
n Formas de la solución general de una ecuación diferencial Iineal y homogénea de segundo
orden con coeficientes constantes W Ecuaciones diferenciales de orden superior
n Raíces da ecuaciones auxiliares de grado mayor que dos

Hemos visto que la ecuaciónlineal de primer orden, dy/dx + uy = 0, donde a es una constante,
tiene la solución exponencial y = cl eear en el intervalo (--, -); por consiguiente, lo más natural

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CAPíTULO

4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en (-, -) de las ecuaciones lineales
homogéneas de orden superior del tipo
a,y(“)

+

a,-ry(n-‘)+ * * * + a*y”

+

qy’ + UOY = 0,

(1)

en donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales y u, # 0. Para nuestra sorpresa,
todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o están formadas rl partir
de funciones exponenciales.

Método de solución Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo
orden
ay” + by’ + cy = 0.

(2)Si probamos con una solución de la forma y = emr, entonces y’ = memr y y” = m2emï, de modo
que la ecuación (2) se transforma en
am2emr + bmem’ + ce- = 0

o sea

em’(am2 + bm + c) = 0.

Como emr nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial
satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadráticaam2+bm+c=0.

(3)

Esta ecuación se llama ecuacián auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial
(2). Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuación auxiliar que corresponden a raíces
reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas.
CASO 1: Raíces reales distintas

Si la ecuación (3) tiene dos raíces reales distintas, rnl y
mz, llegamos a dossoluciones, yt = emlx y y2 = emg. Estas funciones son lineahnente independientes en (-00, -) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la
solución general de la ecuación (2) en ese intervalo es
y= cle mlx + c2emp.

(4)

CASO II: Raíces reales e iguales

Cuando rn1 = m2 llegamos, necesariamente, sólo a una
solución exponencial, yt = emlX. Según la fórmula cuadrática, rnl =...