Longitud de arco en forma parametrica

Longitud de arco en forma paramétrica:

Sabemos que toda curva regular es rectificable, es decir, admite el cálculo de la longitud de su arco sobre un intervalo real dado. Siendo, por tanto, larepresentación paramétrica regular ([a, b], v(u)) rectificable, se puede obtener la longitud de su arco sobre el intervalo de definición [a, b], por
Teorema: Sea ([a,b], v(u)) un arco regular y uoperteneciente a [a, b]. Si es, para todo u del intervalo [a,b], se cumple que s(u):[a, b] ---à [s(a), s(b)] es un cambio de parámetro admisible de clase r.
En efecto:
a) s(u) es suprayectiva yestrictamente creciente, por tratarse de la integral de una función positiva.
b) La derivada de s con respecto a u es no nula:
Al parámetro s(u) le llamaremos parámetro longitud de arco.

Coordenadaspolares:
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa,todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalenteal eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen decoordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Representación de puntos con coordenadas polares:

Lospuntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la quese miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
* El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades...