Longitud de arco

Material de apoyo

Clave de la asignatura: ACM-0405

|UNIDAD |NOMBRE |TEMAS|
|3 |Funciones vectorial de una|3.5 Longitud de arco |
| |variable real ||

.
|Longitud de arco |

[pic]
Vamos a calcular la longitud de una curva[pic]en un intervalo[pic] cuya derivada [pic]sea contínua en [pic]; a esta porción de gráfica se le llama arco .
Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta queaproxime la longitud en cada intervalo.
Se hace una partición ( puede ser regular) del intervalo [pic]; [pic]para [pic]P[pic] y para [pic]P[pic] de manera que el segmento P[pic]P[pic] tiene longitudcalculada por el teorema de Pitágoras [pic]

Si se suma la longitud de cada segmento, P[pic]P[pic]P[pic]P[pic],... , P[pic]P[pic] se obtiene una aproximación a la longitud total s [pic].

Para poderahora tomar el límite de la suma cuando la norma de la partición [pic], utilizaremos que la función [pic]es derivable y contínua en [pic](condición que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto loes en cada subintervalo [pic]por lo que satisface el teorema del valor medio.
Luego existe [pic]tal que [pic]remplazando
s [pic]. Si [pic]
s [pic]
Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento deparábola [pic]en el intervalo [pic]
[pic]s [pic]. Resolviendo ahora [pic]con [pic]
[pic]
[pic]
s [pic]
(unidades lineales)
Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva [pic][pic]
Como [pic]y noes contínua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la curva [pic]será la misma para [pic]( es prácticamente utilizar la inversa) y ahora [pic]con lo cual s...