longitud de arco

LONGITUD DE ARCO

Longitud de una recta. Distancia entre dos puntos: la raíz de la suma de los cuadrados de las diferencias.

Ecuaciones paramétricas de una curva plana
Una función puedeexpresarse a través de un par de ecuaciones definidas en términos de otra variable t, denominada parámetro. Ese par de funciones son entonces ecuaciones paramétricas de la función f.
Ejemplo: sonecuaciones paramétricas de . Estas ecuaciones paramétricas no son las únicas; también son ecuaciones paramétricas de

Curva suave: Si la curva está determinada por un par de ecuaciones paramétricas:Si existen y son continuas en y no son cero simultáneamente en , entonces la gráfica en es una curva suave.

Longitud de una curva suave: Puede verse como una aproximación de la suma delongitudes de segmentos de recta










Método de segmentos rectos: Se trata de hallar la longitud de la curva C, limitada por las dos rectas verticales x = a y x = b. Si dividimos elintervalo [a, b] en n subintervalos cerrados del mismo tamaño x: a = x0 < x1 < x2 < … < xi-1 < xi < xn-1 < xn = b; la partición P = {x0, x1, x2, … , xi-1, xi, xn-1, xn} subdivide la curva C en nsegmentos S1, S2, … , Si, … , Sn , quizá todos con una longitud diferente.
Sean
Si son las ecuaciones paramétricas de la curva, entonces:

Por el teorema del valor medio para derivadas: , dondePor lo tanto:
La longitud total de la poligonal está dada por el límite de la suma de Riemann:

No obstante que

Longitud de arco de una curva expresada en forma paramétrica:

Ejemplo:Calcule la longitud de la cicloide, definida por las ecuaciones paramétricas: luego de dos giros completos.








Longitud de arco en coordenadas rectangulares
Si , x se toma comoparámetro:
Si , y se toma como parámetro:
Ejemplo: Calcule la longitud de arco de la función , en el intervalo





Longitud de arco en coordenadas polares.
Si ,  se toma como parámetro:...