longitud de arco

LONGITUD DE ARCO DE
LA GRAFICA DE UNA
FUNCIÓN
Calculo II

QUE ES:
La longitud de arco, también
llamada rectificación de una
curva, es la medida de
la distancia o camino
recorrido a lolargo de
una curva o dimensión lineal.

HISTORIA
 Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es
común en el cálculo, a través de aproximaciones: los
matemáticos de la época trazaban unpolígono dentro de la
curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para
obtener un valor aproximado de la longitud de la curva.

USO DE POLÍGONOS

HISTORIA

 El matemático holandésChristian Huygens(1629,-595), inventor del reloj
de péndulo y el matemático escoses James Gregory (1638-1675) ,

contribuyeron decisivamente a resolver el problema de hallar la longitud de
arco deuna curva rectificable.

DEFINICIÓN
Sea la función dada por y = 𝑓

𝑥

que represente una curva suave en el

intervalo [a,b]. La longitud de arco de 𝑓 entre a y b es:
S=

𝑎
𝑏

1 + [ 𝑓′ 𝑥 ] 2 dx

Similarmente para una curva suave dada por y=𝑔

𝑥

la longitud de

arco de 𝑔 entre c y d es:
S=

𝑐
𝑑

1 + [ 𝑔′ 𝑥 ] 2 dx

(Larson)

R E P R E S E N TAC I Ó N G R A F I C A

(Leithold)

EJEMPLOS
 Encontrar la longitud de arco de (x1, y1) a (x2, y2) en la grafica
𝑓

𝑥

= mx +b como se muestra en la figura:

SOLUCIÓN

que es la formula general para ladistancia entre dos puntos en el plano

EJEMPLO
 Hallar la longitud del arco de la curva
9y2 =4x3 comprendido entre los puntos de la curva de
abscisa x = 0 y

x=3

SOLUCIÓN
En este casovemos que es sencillo expresar a
de x:

Derivando:
De manera que:

y

como función

EJEMPLO
 Hallar la longitud del arco de curva de la función
24xy - x4 - 48 = 0

comprendido entre losvalores x = 2 y x = 4

SOLUCIÓN
Derivando obtenemos:

SOLUCIÓN
Integrando tenemos:

PROBLEMA
 La siguiente figura muestra un cable que pende en la forma de catenaria entre
dos postes...