longitud de arco

Longitud de arco

¿Qué se entiende cuando se habla de longitud de una curva?. Necesitamos una definición precisa para la longitud de un arco de curva, en los mismos terminos en que desarrollamos los conceptos de área y de volumen.
Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. (Para ladistancia entre los extremos de cada segmento podemos usar la fórmula conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una curva general apróximandola con un polígono y entonces tomando un límite cuando el número de segmentos del polígono aumenta, Este proceso es bien conocido para el caso de la circunferencia, en el que la circunferencia es el límite de las longitudes de los polígonosinscritos.
Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la ecuacion  , donde f es continua en . Obtenemos una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo  en  subintervalos con los extremos  y todos de la misma longitud . Si  , entonces, el punto  está en la curva C y el polígono con vértices  . La longitud de L de C es aproximadamente igual a la longitud de este polígono y laaproximación es mejor cuando crece  . Por lo anterior, definimos la longitud, L, de la curva C, cuya ecuación es , , como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscritos (si existe el límite):

Observará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al empleamos al definir el área y el volúmen. Dividimos la curva en un gran número de partespequeñas. Luego calculamos las longitudes aproximadas de las partes pequeñas para después sumarlas. Por último sacamos el limite cuando  .
La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación 1, no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que  tenga una derivada continua. Una función así, se denomina función lisa ofunción suave, porque el cambio de  origina una pequeña alteración de .
Con  , entonces

Al aplicar el teorema del valor medio a  , en el intervalo  , vemos que hay un número,  entre  y  tal que

  esto es , Por consiguiente,    
Entonces, según la definición 1, 
Reconocemos que esta expresión es igual a 
de acuerdo con la definición d euna integral definida. ESta integral existe porque la función  escontinua; por consiguiente, hemos demostrado el teorema siguiente:
2. fórmula de longitud de arco si  es continua en  , la longitud de la curva  , es

Con la notación de Leibniz de derivadas podemos escribir la fòrmula de la longitud de arco de esta manera:
3.
Contenido
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1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 5
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo #5
7 Ejemplo 6
8 EJEMPLO 79 EJEMPLO 8
10 EJEMPLO 9
11 EJEMPLO 10
12 Ejercicios
13 Busca mas temas
Ejemplo 1
La longitud de arco de la parábola semicúbica,  entre los puntos  y 
solución Para la mitad superior de la curva,  
así que, con la ecuacion de la longitud de arco,

Si sustituimos  , entonces  . Cuando  ,  ; cuando  ,  ; por lo tanto,



Ejemplo 5


 en el intervalo de 









Integramos porpartes









Integramos



Resolvemos 
entonces 13,122.39 - 44.01=
13,078.37
Ejemplo 2
Encontrar la longitud de arco para la función dada:  para el intervalo de [0,1].
derivamos la función y obtenemos lo siguiente luego por las ecuaciones de longitud de arco obtenemos esto: 
operamos de la siguiente manera:
 hacemos una substitucion: 


 sacamos la primitiva y por elTeorema fundamental del calculo:
 
la longitud de arco es 6.10



Si la ecuación de una curva es  ,  , y  es continua, al intercambiar los papeles de  y  en la fòrmula 2 o en la ecuación 3, obtendremos la fòrmula siguiente, para calcular su longitud:
4. 

Ejemplo 3
Escriba la integral para calcular la longitud de arco de la hiperbola  del punto  al punto 

Tenemos que  entonces ...