Longitud de arco

3. TRIGONOMETRIA
María Concepción González Enríquez

3.1 Longitud de arco
3.2 Funciones trigonométricas y sus gráficas
3.3 Ángulo, Identidades trigonométricas
3.4 Ángulo intersección de rectas
3.5 Solución de triángulos
3.6 Coordenadas Polares
3.1 Longitud de arco
La idea de la definición de la longitud de un arco de circunferencia se debe
a Eudoxio (408-355 a.c.) llamado método de exhaustación,el cual usó
arquímedes (250 a.c.).
Tomamos una circunferencia de radio r y dos puntos Q, R sobre ella el
arco de circunferencia levógiro sobre la circunferencia se denota A(Q , R) y
su longitud por A(Q, R)
R

M1
M2

M3

Q

Se selecciona cualquier punto M 2 en el arco diferente a los extremos
obteniendo un polígono inscrito
Sea S1 = M 2 − Q + R − M 2
Se seleccionan otros puntos M 1 , M 3 en losarcos de circunferencia
A(Q, M 1 ) A( M 1 , R) respectivamente, tomamos
S 2 = M 3 − Q + M 2 − M 3 + M1 − M 2 + R − M1

Es otra aproximación a la longitud del arco A(Q , R)
comparamos
1

S1 = M 2 − Q + R − M 2 = M 2 − M 3 + M 3 − Q + R − M 1 + M 1 − M 2
≤ M 3 − Q + M 2 − M 3 + M1 − M 2 + R − M1 = S 2

Sucesivamente se eligen más puntos intermedios en los sub-arcos que se
forman
Y tenemos S1 < S 2 < S3 < K < S n < K que es un conjunto de números
reales.
Luego se elige un punto T fuera de la circunferencia, considerando los
segmentos RT y TQ haciendo prolongaciones de los segmentos RM1 ,
M 1 M 2 , M 2 M 3 hasta intersectar el segmento TQ en los puntos
N 1 , N 2 y N 3 respectivamente
T

R

M1
M2

N1

N2

M3
Q

N3

Tenemos TQ = T − Q = N 1 − T + N 2 − N 1 + N 3 − N 2 + Q − N 3
Con lasdesigualdades
R − M1 + N1 − M1 = R − N1 ≤ R − T + T − N1

(2)

M1 − M 2 + M 2 − N 2 = M1 − N 2 ≤ M1 − N1 + N1 − N 2

(3)

M2 − M3 + M3 − N3 = M2 − N3 ≤ M2 − N 2 + N 2 − N3

(4)

M3 − Q ≤ M3 − N3 + N3 − Q

(5)

Sumando las desigualdades (2), (3), (4) y (5)

2

(1)

R − M1 + N 1 − M1 + M1 − M 2 + M 2 − N 2 + M 2 − M 3 + M 3 − N 3 + M 3 − Q
≤ R − T + T − N1 + M1 − N1 + N1 − N 2 + M 2 − N 2 + N 2 − N 3 +
+ M3− N3 + N3 − Q
R − M1 + M1 − M 2 + M 2 − M 3 + M 3 − Q
≤ R − T + T − N1 + N1 − N 2 + N 2 − N 3 + N 3 − Q

Por lo tanto
S 2 ≤ R − T + T − Q usando (1)

En forma similar cualquier S n ≤ R − T + T − Q
Es decir el conjunto S1 < S 2 < S 3 < K < S n < K está acotado superiormente
por R − T + T − Q .
Por el axioma del supremo, existe Sup{S n } , este número se define como la
longitud del arco A(Q , R) , esdecir, A(Q , R ) = Sup{S n }
El número π se define como la longitud del arco semicircular de radio 1.
En 1949, π se calculó con el computador electrónico ENIAC con 2034
cifras decimales, para lo cual se requirió de 70 horas.

3.2 Funciones trigonométricas y sus gráficas
Consideramos la circunferencia de radio 1 y centro en el origen, cuya
longitud es 2 π , la recta de los números reales se enrollaalrededor de la
π
circunferencia, el intervalo 0,  cubre el primer cuadrante en sentido


2

levógiro ( el contrario a las manecillas del reloj), este sentido es asociado a
los números positivos; y el sentido dextrógiro se asocia a los números
negativos.
Esta asociación de la recta numérica sobre la circunferencia unitaria define
una función F : R → R 2
Para u ∈ R , F (u) = P es el puntocuya distancia a lo largo de la
circunferencia al punto (1,0) es u
Ejemplos

3

F (0) = (1,0)
π 
F   = (0,1)
 2
F (π ) = (−1,0)

 π
F  −  = (0,−1)
 2
F (−π ) = ( −1,0)

 3π 
F
 = (0,−1)
 2 
F (2π ) = (1,0)

 3π 
F −
 = (0,1)
 2 
F (−2π ) = (1,0)

En general 2nπ equivale a n revoluciones levógiras y − 2nπ a n
revoluciones dextrógiras, por lo tanto F (u) = F (u ± 2nπ )Definición. Para u ∈ R , se define cos(u) como la primera coordenada del
punto F (u) = P , y sen(u) es la segunda coordenada del punto F (u) = P .
Es decir F (u) = P = (cos(u), sen(u))
De los ejemplos anteriores se deduce que
cos(0) = 1, sen(0) = 0
π 
π 
cos  = 0, sen  = 1
2
2
cos(π ) = −1, sen(π ) = 0

 π
 π
cos −  = 0, sen −  = −1
 2
 2
cos(−π ) = −1, sen( −π ) = 0

 3π 
...