Longitud de curvas planas

Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.
[pic]
Cuando la curva essuave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:
Definición:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
[pic]

Sólido de revolución

Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.
Un sólido de revoluciónes un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puedenobtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica:
[pic]
Enparticular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
[pic]

]Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en unintervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:
[pic]
Esta fórmula se simplifica si giramos una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
[pic]

Cálculo demomentos, centros de masa y trabajo.

|Momentos y Centros de Masa |

Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta
[pic]
Sea [pic]la distancia dirigida ( quiere decir que es en el sentido habitual, si [pic]está a la derecha de [pic][pic]y si [pic]está a la izquierda de [pic][pic])
El momento de [pic]con respecto a [pic]estádefinido como [pic]o en general con [pic]masas [pic]y el centro de masa del sistema como
[pic]
Ejemplo 1: Si las masa son de 1,3,1,2,4 repectivamente y están localizadas en los puntos (1,0)
([pic] (-2,0) (-3,0) (-[pic] [pic]; este es el punto en que se
equilibraría el sistema si se sostuviera en ese punto con un alfiler esa recta que no
tiene peso y que tiene las masa así distribuídas
Si ahorase toman masas puntuales [pic]distribuidas en diferentes puntos del plano [pic]
[pic]

|Momento con respecto al eje y = [pic] |( porque [pic]es la abscisa del punto y por lo tanto la distancia dirigida al |
| |eje [pic]) |

|Momento con respecto al eje x =[pic]|( porque [pic]es la ordenada del punto y por lo tanto la distancia dirigida al |
| |eje [pic]) |

[pic]=[pic] [pic]= [pic]
( [pic]es sel centro de masa del sistema

Ejemplo 2: masas de 2,2,1,3,1,4 gramos están localizadas respectivamente en los puntos (1,1)
(2,3) (4,6)...