Longitud de una curva plana

Longitud de una curva plana

¿Qué se entiende cuando se habla de longitud de una curva?. Necesitamos una definición precisa
para la longitud de un arco de curva, en los mismos terminos en quedesarrollamos los conceptos
de área y de volumen.
Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud; simplemente sumamos las longitudes de
todos los segmentos de recta que forman el polígono.(Para la distancia entre los extremos de
cada segmento podemos usar la fórmula conocida de distancia.) Vamos a definir la longitud de una
curva general aproximándola con un polígono y entoncestomando un límite cuando el número de
segmentos del polígono aumenta, Este proceso es bien conocido para el caso de la circunferencia,
en el que la circunferencia es el límite de las longitudes de lospolígonos inscritos.
Supongamos ahora que una curva C ha sido definida por medio de la ecuación
donde f es continua en
intervalo

en

longitud

,

. Obtenemos una aproximación poligonal a Cdividiendo el

subintervalos con los extremos

. Si

y todos de la misma

, entonces, el punto

polígono con vértices

está en la curva C y el

. La longitud de L de C es aproximadamenteigual a la

longitud de este polígono y la aproximación es mejor cuando crece

. Por lo anterior, definimos

la longitud, L, de la curva C, cuya ecuación es

, como igual al límite de la

,suma de las longitudes de esos polígonos inscritos (si existe el límite):

Observará que el procedimiento para definir la longitud del arco se parece mucho al empleamos al
definir el área y elvolúmen. Dividimos la curva en un gran número de partes pequeñas. Luego
calculamos las longitudes aproximadas de las partes pequeñas para después sumarlas. Por último
sacamos el limite cuando

.La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación 1, no es muy cómoda para fines de
cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que
una...