longitud del arco

Longitud de arco
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general paraobtener soluciones cerradas para algunos casos.

Métodos modernos
Al considerar una curva definida por una función  y su respectiva derivada  que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S delarco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como  e , la longitud del arco desde el punto hastael punto  se calcula mediante:
(2)
Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendidoen el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a lacircunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.
Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica,la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.




Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, estaaproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráficaes una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando...