longitud

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.


Componentes de la elipse
Focos Son los puntos fijos Fy F'.
Eje focal Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores Son los segmentos que vandesde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con losejes: A, A', B y B'.
Eje mayor Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría Son lasrectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.


Relación entre la distancia focaly los semiejes
 


Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semiejemayor.


Ecuación de la elipse

Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de losfocos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:


Ejemplo Hallar los elementos característicos y laecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor
Semidistancia focal
Semieje menor
Ecuación reducida
Excentricidad


Ecuación reducidade eje vertical de la elipse

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(0, c)
Ejemplo
Dada la ecuación...