LOOGISTICA

L´ogica, conjuntos,
relaciones y funciones

´
Alvaro
P´
erez Raposo
Universidad Aut´onoma de San Luis Potos´ı
Universidad Polit´ecnica de Madrid

Publicaciones Electr´onicas
Sociedad Matem´atica Mexicana

A la memoria de mi madre,
Cecilia Raposo Llobet.

Pr´
ologo
Este libro es una exposici´
on muy elemental de los t´opicos fundamentales de
las matem´
aticas que anuncia elt´ıtulo: l´ogica, conjuntos, relaciones y funciones.
Mi aportaci´
on es tener un libro en espa˜
nol, elemental y riguroso. Todos los
resultados enunciados tienen su demostraci´on y sigo el esquema habitual de una
teor´ıa matem´
atica de axiomas, definiciones y teoremas, todos ellos entrelazados
por las reglas de la l´
ogica. La otra caracter´ıstica que he buscado al escribirlo es labrevedad. Se ha conseguido un libro con un contenido importante pero expuesto
en pocas p´
aginas. A pesar de ello no carece de explicaciones o ejemplos all´ı donde
se han cre´ıdo necesarios.
El primer cap´ıtulo trata de l´
ogica. Es una exposici´on de los principios de
la l´ogica que se usan en matem´
aticas para desarrollar sus teor´ıas. Partiendo
de la definici´
on de variable l´
ogica, sellega hasta el concepto de razonamiento
l´ogico, que es el que permite demostrar teoremas. En este cap´ıtulo todas las
demostraciones de resultados se han hecho mediante tablas. Es un m´etodo que se
puede evitar en algunos casos, pero es m´as seguro cuando a´
un no se ha expuesto
en qu´e consiste un razonamiento l´ogico. Desde el punto de vista del primer
cap´ıtulo, podemos pensar en unlibro de l´ogica (cap´ıtulo 1) con un ejemplo, la
teor´ıa de conjuntos, desarrollado en detalle (cap´ıtulos 2, 3 y 4).
El segundo cap´ıtulo expone los axiomas y definiciones iniciales de la teor´ıa
de conjuntos, adem´
as del ´
algebra de las operaciones habituales de complemento, uni´
on e intersecci´
on. He optado por un desarrollo axiom´atico riguroso de la
teor´ıa. Sin embargo no uso elsistema completo de axiomas de Zermelo y Fraenkel, sino una simplificaci´
on del mismo reducida a cinco axiomas. La reducci´on
es posible porque no distingo entre clases y conjuntos ni entro en el terreno de
los conjuntos ordinales ni de los cardinales, por lo cual la exposici´on es elemental. A partir de los axiomas y las definiciones introducidas se van demostrando
teoremas seg´
un las reglasde inferencia l´ogica expuestas en el cap´ıtulo anterior.
El tercer cap´ıtulo trata de relaciones, que son la forma de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto. En particular se analizan las relaciones de
equivalencia y las relaciones de orden parcial y total.
El cuarto cap´ıtulo est´
a dedicado a la idea de funci´on que, junto con la de
conjunto, es el concepto m´
as fruct´ıfero enmatem´aticas. Este cap´ıtulo describe
todo el material necesario para llegar a dos teoremas: el que caracteriza las
funciones invertibles como las biyectivas y el de descomposici´on can´onica de
una funci´
on.
iii

iv

´
PROLOGO

Desde el punto de vista de estos tres u
´ltimos cap´ıtulos, el libro se puede ver
como un libro de teor´ıa elemental de conjuntos con un cap´ıtulo previo del´ogica.
Bajo cualquiera de las dos interpretaciones, se trata de un libro de texto
dirigido a alumnos de primer curso de matem´aticas, f´ısica, ingenier´ıa o, en general, a cualquier estudiante que desee adquirir soltura en el manejo de estos
conceptos, que son herramientas comunes en los cursos de c´alculo y ´algebra.
No est´
a pensado como un libro de autoestudio, sino como un libro paraseguir
con la gu´ıa de un profesor. Cada cap´ıtulo contiene, al final, una lista de ejercicios propuestos al lector que tienen la misi´on de analizar ejemplos concretos
de la teor´ıa revisada. Tambi´en hay algunos ejercicios en los que se ampl´ıa ´esta
pues se propone demostrar alg´
un resultado. Los ejercicios considerados de mayor
dificultad se han marcado con un asterisco.
No presupongo...