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Unidad
1

Números Complejos
Definición
Llamaremos número complejo a un número

z que se escribe de la forma a + b ⋅ i ,

donde a y

b son números reales, e i verifica: i 2 = −1 .
Al número a se lo denomina parte real de z y al número b, parte imaginaria de z.
parte real

}
a

parte imaginaria

+

}
b⋅i

Se designa con Re(z ) a la parte real del número complejo z y conIm(z ) a la
componente imaginaria de z.
Condición de igualdad
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte
imaginaria.

Definición conjunto de número complejo
Se denomina con la letra C al conjunto de todos los números complejos:

C = {z / z = a + b ⋅ i; a ∈ ℜ, b ∈ ℜ}
Nota:
•

•

Un número complejo cuya parte imaginaria es cero se identifica conun número
real que se denomina complejo real.
Ejemplo:
− 3 + 0⋅i = − 3 ∧ − 3∈ ℜ
Todo número real puede considerarse un número complejo cuya parte imaginaria es cero.
Un número complejo cuya parte real es cero se denomina imaginario puro.
Por ejemplo:
0 − 4⋅i = − 4⋅i

Unidad Nª1
•

Dos números complejos se denominan conjugados si tienen la misma parte real
y las partes imaginariasopuestas. El complejo conjugado del complejo
z = a + b ⋅ i se indica con z ; luego z = a − b ⋅ i
Ejemplo:
Si z = 3 − 8 ⋅ i , su complejo conjugado es z = 3 + 8 ⋅ i

•

1
1
z = − ⋅ i , su complejo conjugado es z = ⋅ i
3
3
Dos números complejos son opuestos si tienen parte real y la parte imaginaria
opuestas. El complejo opuesto del complejo z = a + b ⋅ i se indica con − z ; luego − z = −a− b ⋅ i
Ejemplo:
Si z = 3 − 8 ⋅ i , su complejo opuesto es − z = −3 − 8 ⋅ i

1
1
z = − ⋅ i , su complejo opuesto es − z = ⋅ i
3
3

Ubicación del conjunto de los números complejos
El conjunto de los números reales está incluido en el conjunto de los números complejos:
ℜ ⊂ C , porque si a ∈ ℜ , es z = a + 0 ⋅ i , y, entonces, z ∈ C




Naturales ( N ) 

N0 



{o}
  Enteros ( Z ) Racionales (Q )



Re ales (ℜ)
Enteros Negativos 



Complejos (C )


Fraccionarios 




Irracionales (ℑ)

Im aginarios (Im)


Representación de los números complejos
Nos preguntamos si podemos representar gráficamente los números complejos. Considerando que un número complejo a + b ⋅ i puede considerarse como el punto de un plano decoordenadas (a; b), donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
Los números complejos reales se representaran en el eje de las abscisas (eje real) y a los
números complejos imaginarios puros sobre el eje de las ordenadas (eje imaginario).

2

Números Complejos
Este plano formado se denomina plano complejo C.

z = a +b⋅i

b

1

0

1

a

Eje real

Formas de expresarun número complejo
Podemos expresar a los números complejos de cuatro formas distintas.
Si lo expresamos de la forma a + b ⋅ i se denomina forma normal o binómica
Si lo expresamos (a; b ) se denomina forma de par ordenado, donde la primer componente es la parte real y la segunda es la parte imaginaria.
El punto (a; b ) se denomina afijo de z.
Las otras dos formas la vamos a nombrar, pero ladeducción se verá en años posteriores.
Si observas la siguiente figura, al fijar el punto z queda determinado un triángulo rec∆

tángulo oaz del que se conocen las medidas de sus catetos a y b y se puede calcular su
hipotenusa por el teorema de Pitágoras.
A la medida de ésta la designaremos con r y la llamaremos módulo del vector o del número complejo. Entonces r = a 2 + b 2
El vector formaun ángulo φ con el semieje positivo de las abscisas tomado en el sentido antihorario.
Dicho ángulo se denomina argumento del vector.
El valor de ϕ puede determinar matemáticamente por trigonometría o bien por medición. En este curso usaremos esta última forma.
Y si decimos que z = r , ϕ , estaremos designando a los números complejos en notación polar o forma polar.
Existe otra forma de...