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MATRICES
   
Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij  de la forma
 

 
La matriz anterior se denota también por (aij), i  =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por  (aij).  
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m  n.  
Las matrices se denotaránusualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...  
Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

 

TIPOS DE MATRICES  
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  
 
Matrices cuadradas  
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n  n es deorden n y se denomina matriz n-cuadrada.  
Ejemplo:  Sean las matrices
   
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.  
 
Matriz identidad  
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann.  La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.  
La matriz n-cuadrada conunos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,  
A· I = I ·A = A.  
 
Matrices triangulares  
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matricesson matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
   
Matrices diagonales  
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn  ). Por ejemplo,  
  
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
    diag(3,-1,7)  diag(4,-3)  y  diag(2,6,0,-1).
 


TRASPUESTA DE UNA MATRIZ 
Latraspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.  
Así, la traspuesta de
 
En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT =  es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:  
1.  (A + B)T = AT + BT.
2.  (AT)T = A.
3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4.  (AB)T = BTAT.
 
Matricessimétricas  
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.  
Ejemplo:  
Consideremos las siguientes matrices:
  
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; enconsecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
 
Matrices ortogonales  
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.  
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

 
Matrices normales  
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es,si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.  
Ejemplo:

 
 
 
   
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal

SUMA Y RESTA DE MATRICES
 
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que,tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.  
Ejemplo:
 
 
  
 
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.  
Ejemplo:
   
 

 
          
 

PRODUCTO DE MATRICES 
Para poder multiplicar dos matrices, la...