Loquesea

Ecuaciones Diferenciales
espinoza ramos
temas:
E. D. L. Homogéneas de Coeficientes Constantes. E.D.L. No Homogéneas de Coeficientes Constates. Sistema de Ecuaciones Diferencias de Coeficientes Constantes. La Transformada de Laplace. Aplicaciones de la Transformada de Laplace.

E CUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n
1.

d2y dy  3  2y ! 0 2 dx dxRESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial: d2y dy 3  2y ! 0 2 dx dx 2 P t
! t  3t  2 ! t  2
t  1
! 0 De donde: t ! 1, t ! 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x  c2 e 2 x Rpta: y ! c1e x  c2 e 2 x d2y dy  4  4y ! 0 2 dx dx RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial: d2 y dy  4  4y ! 02 dx dx P t
! t 2  4t  4 ! t  2
! 0 De donde: t ! 2 de multiplicidad 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e2 x  c2 xe2 x ! e2 x c1  c2 x
Rpta: y ! e 2 x c1  c2 x
2

2.

3.

d2y y!0 dx 2
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:

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M RC

DIVAR

INGENIER ADE SISTEMAS



E CUACIONES DIFERENCIALES

d2y dy  4  4y ! 0 2 dx dx 2 P t
! t  1 ! 0
De donde: t ! i, t ! i Luego el sistema fundamental de soluciones:

y ! c1 cos x  c2 sen x
Rpta: y ! c1 cos x  c2 sen x
4.

d y dy  y!0 dx 2 dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial: d 2 y dy  y!0 dx 2 dx t
! t 2  t  1 ! 0 1 3 1 3 Dedonde: t !   i, t !   i 2 2 2 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: x x   3 3 2 2 y ! c1e cos x  c2 e sen x 2 2 x  ¨ 3 3 ¸ y ! e 2 © c1 cos x  c2 sen x¹ © 2 2 ¹ ª º x  ¨ 3 3 ¸ Rpta: e 2 © c1 cos x  c2 sen x¹ © 2 2 ¹ ª º


2

5.

d2y dy  2  2y ! 0 2 dx dx
RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial: d2y dy  2  2y ! 0 2 dx dx 2 Pt
! t  2t  2 ! 0

t ! 1  i De donde: t ! 1  i, Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x cos x  c2 e x sen x
y ! e  x c1 cos x  c2 sen x


DOCENTE: ING. ELMER C

IYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS



E CUACIONES DIFERENCIALES

Rpta: e  x c1 cos x  c2 sen x
6. y ''' 2 y '' y ' 2 y ! 0

RESOLUCIÓN El polinomio característico,correspondiente a la ecuación diferencial: y ''' 2 y '' y ' 2 y ! 0

t
! t 3  2t 2  t  2 ! t  1
t  1
t  2
! 0
De donde: t ! 1, t ! 1, t ! 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: y ! c1e x  c2 e  x  c3 e2 x Rpta: y ! c1e x  c2 e  x  c3 e2 x
7.

y ''' 3 y '' 3 y ' y ! 0
RESOLUCIÓN

y ''' 3 y '' 3 y ' y ! 0 Ecuación irresoluble excepto si: y ''' 3 y '' 3y' y ! 0 El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial:
y ''' 3 y '' 3 y ' y ! 0 P t
! t 3  3t 2  3t  1 ! t  1
t 2  4t  1
! 0

De donde: t ! 1, t ! 2  3, t ! 2  3 Luego el sistema fundamental de soluciones: 2 3
x 2 3
x  c3 e y ! c1e  x  c2 e 2 3 x 2 3 x Rpta: y ! c1e  x  c2 e
 c3 e
8. y ''' y '' y ' y ! 0

RESOLUCIÓN Elpolinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial: y ''' y '' y ' y ! 0

P t
! t 3  t 2  t  1 ! t  1
t 2  1
! 0
De donde: t ! 1, t ! i, t ! i Luego el sistema fundamental de soluciones:



DOCENTE: ING. ELMER C

UQUIYAURI

SALDIVAR

INGENIER A DE SISTEMAS



E CUACIONES DIFERENCIALES

y ! c1e x  c2 cos x  c3 sen x Rpta: y ! c1e x  c2 cos x c3 sen x
9. y ''' y ! 0

RESOLUCIÓN El polinomio característico, correspondiente a la ecuación diferencial: y ''' y ! 0

P t
! t 3  1 ! t  1
t 2  t  1
! 0 1 3 1 3 t!  i, t !   i 2 2 2 2 Luego el sistema fundamental de soluciones: x x   3 3 y ! c1e x  c2 e 2 cos x  c3 e 2 sen x 2 2 x  ¨ 3 3 ¸ x 2 y ! c1e  e © c2 cos x  c3 sen x¹ © 2 2 ¹ ª º x  ¨ 3 3 ¸ Rpta: y !...