Lorentz

Relatividad Especial




La transformación de Lorentz


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1.1.- Dos sucesos ocurren en el mismo punto x´0 en los instantes t´1 y t´2 en el sistema S´, que se está moviendo con una velocidad V respecto al sistema S. ¿Cuál es la separación espacial de estos sucesos en el sistema S?


Solución
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1.2.- Los astronautasde una nave espacial que se aleja de la Tierra a V=0.6c interrumpen su conexión con el control espacial, diciendo que van a dormir una siesta de 1 hora y que luego volverán a llamar. ¿Cuál es la duración de la siesta según se mide en la Tierra?.


Solución Como los astronautas van a dormir y se despertarán en el mismo lugar en su sistema de referencia, el intervalo de tiempocorrespondiente a una siesta de 1 hora medido por ellos mismos es su tiempo propio. En el sistema de referencia de la Tierra, los astronautas se desplazarán una distancia considerable entre ambos sucesos. El intervalo de tiempo medido en el sistema de referencia de la Tierra (utilizando dos relojes situados donde se producen dichos sucesos) es más largo en un factor (. Con V=0.6c, tendremos:


[pic]1.3.- Asumiendo que un avión jet viaja a 300 m/s y la circunferencia de la Tierra es cerca de 4*107m, calcular el efecto de la dilatación del tiempo esperado para un viaje alrededor del mundo sin considerar la rotación de la Tierra ni la gravitación.


Solución Un reloj colocado sobre la Tierra medirá un tiempo de vuelo T0 de


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Esto es cercano a 37 horas.Un reloj colocado sobre el avión correrá más lentamente, por lo tanto un observador sobre la Tierra dirá que el tiempo medido sobre el avión es [pic]. La diferencia de tiempo será


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Como ( es pequeño, podemos usar la expansión en serie de la raíz cuadrada, considerando sólo el menor término en (2.


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1.4.- En el año 2050 la Federación delEspacio de las Naciones Unidas ha perfeccionado el almacenamiento de antiprotones para su uso como combustible en una nave espacial. Habiendo sobrevolado todos los planetas en nuestro sistema solar, han comenzado los preparativos para enviar una nave tripulada al sistema Alpha Centauro, a 4 años luz de distancia. Las provisiones alcanzarán para mantener una tripulación durante 16 años. ¿A quévelocidad debe viajar la nave para que las provisiones alcancen?. En la solución considere que la nave viaja en línea recta y desprecie la aceleración.


Solución Desde la Tierra observaremos que la nave se mueve a una velocidad v con respecto a nosotros, y que de acuerdo a nuestro sistema K, el viaje durará T=2L/v, donde L es la distancia hasta la estrella. Como las provisiones a bordo de lanave solo durarán 16 años, consideraremos que el tiempo propio T´ en el sistema K´ es de 16 años. Usando la dilatación del tiempo, obtenemos:


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Por lo tanto la velocidad es v = 0.447c = 1.34 x 108m/s. El intervalo de tiempo medido desde la Tierra será (T´ = 17.9 años. Notar que mientras los astronautas habrán viajado 16 años, para sus amigos en la Tierra habrán pasado 17.9años.
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1.5.- Considerar el ejemplo anterior desde el punto de vista de la contracción de la longitud.


Solución Los astronautas tienen provisiones para 16 años. Así, ellos esperan viajar 8 años en cada sentido. Si Alpha Centauro esta a 4 años luz de distancia, esto significará que necesitarán viajar a 0.5c para completar el viaje. Consideraremos este ejemplo desde elmarco K´ en el cual los astronautas están en reposo. De esta manera, la estrella estará moviéndose hacia ellos , y la distancia que recorrerá la estrella aparecerá contraída. La distancia de 4ly es la distancia propia, y la distancia medida por los astronautas será menor. La distancia contraída de acuerdo a los astronautas es [pic]. La velocidad en que ellos necesitan hacer este viaje es la...