Los ciete habitos

DerivadaEn cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuSupongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de es otra función que llamaremos .
representa la pendiente de la rectatangente a la gráfica de en el punto .En términos geométricos, esta pendiente es «la inclinación» de la línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráfica de .Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta separece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece (o decrece) muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña,entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en ese punto.Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento (o decrecimiento) en un punto de una función está dado por .
No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varios motivos. Por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismopunto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente. También se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua. Incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad de puntos muycercanos y por tanto no hay recta tangente.Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.Conocer la derivada de una función diferenciable por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajopara encontrar derivadas menos comunes. Condiciones de continuidad de una función:Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que , y si este últimolímite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con
es continua en el punto a.
Condición no recíproca:La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero lasderivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.
Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función es equivalente a la función partida
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, lasderivadas resultan
Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
[editar] Definición analítica de derivada como un límite

Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y....