los cosos de los cosos

MMII_c5_MSV: Método de Separación de Variables para la ecuación
de Laplace en un círculo.
Guión:
Un problema definido por la ecuación de Laplace muy frecuente en las aplicaciones es
que eldominio sea un círculo, el problema requiere de restricciones implícitas, típico de
los problemas de Sturm Liouville singulares, en este caso vienen dadas porque las
restricciones de contorno sonperiódicas. Veremos el caso de condiciones de contorno
Dirichlet.
Los libros recomendados son los de las clases anteriores, en este caso el Haberman es
una buena referencia.
Ejercicio recomendado:Ecuación de Laplace en el círculo con condiciones de contorno Newmann:
ur (1, ) 5sen ,
0, 2 ,

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1

Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a laasistencia a

clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran
posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.

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Notas de la clase del Método deSeparación de Variables para la
ecuación de Laplace en un círculo.
Sea el problema de Laplace extendido a un dominio circular:

u

( x, y )

u( x, y)

x2

y2

r1

( x, y )

0

x2y2

r1

f ( x, y)

r1

Para mayor comodidad a la hora de trabajar, se escogen unas coordenadas polares.
Gracias a este cambio, se consigue pasar de un problema en que el dominio escircular a
uno en que éste es rectangular, provocando la aparición de condiciones de contorno
implícitas propias de problemas no regulares:
x

r cos

y

rsen

,

r ]0, r1[

[

r1

, [

rQuedando el problema como:

1
1
ur
u
r
r2
u (r1 ,0) f ( )
u(r, ) acotada en r
u(r, ) u(r, )
u (r , ) u (r , )
u

u rr

0

r

r1 ,

]

]

, [

, [

0

2

Siendoestas tres últimas las condiciones de contorno implícitas.
Con esto, ya se puede aplicar el método de separación de variables:

u(r, )

R(r )· ( )

Donde se toma ‘r’ como falsa ‘t’, quedando...