Los fractales

ÁREA: LÓGICO MATEMÁTICO

ALUMNA: Mayra Pomasoncco Molina

AÑO: 5To de Secundaria

PROFESOR: Carlos Cartolín

FECHA DE ENTREGA: JUEVES 7 DE OCTUBRE DEL 2010

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significaquebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
* Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
* Posee detalle a cualquier escala de observación.
* Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
* Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch esestrictamente mayor que su dimensión topológica.
* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descritomediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[ ]o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Introducción.-
Los ejemplos clásicos :
Para encontrar los primeros ejemplos de fractalesdebemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.

sucesivos pasos de la construcción de la curva de Koch
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirsepartiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó sutriángulo y, un año después, su alfombra.
Construcción de la alfombra de Sierpinski: |
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Paso 1 (semilla) | Paso 2 | Paso 3 | Paso 4 | Paso 5 | |
Estos conjuntos mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una "galería de monstruos", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en símismos.
En 1919 surge una herramienta básica en la descripción y medida de estos conjuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch
Los conjuntos de Julia
Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas .
Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno.Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.
Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteracionesnecesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.
Ejemplos de conjuntos de Julia para fc(z) = z2 + c
En negro, conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=φ-2, donde φ es el número áureo | Conjunto de Julia relleno asociado a fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i | Conjunto...