Los misterios de la fracción prohibida
Páginas: 9 (2139 palabras)
Publicado: 18 de junio de 2010
56
Noviembre 2007, pp. 39-42
Los misterios de la fracción prohibida
En este artículo se muestran varios significados posibles para la misteriosa fracción (a+c)/(b+d) asociada a dos fracciones a/b y c/d. Haciendo esto encontramos algunas consideraciones didácticas interesantes.
In this article we show several possible meanings for the mysterious fraction (a+c)/(b+d) associated to twofractions a/b and c/d. In doing this we find some interesting didactical remarks.
L a multiplicación de fracciones a/b*c/d=(ac)/(bd) es
extraordinariamente simple de ejecutar y recordar: se multiplican numeradores y se multiplican denominadores. Sin embargo la suma a/b+c/d=(ad+bc)/(bd) tiene una inesperada complejidad. Por ello, desde la noche de los tiempos, los estudiantes acostumbran acalcular por iniciativa propia la suma alternativa a c ac (*) b d bd Salvo en algunos casos de severa incompetencia en que el profesor da por buena la igualdad (*) la reacción normal ante la aparición de (*) en clase (si el profesor sobrevive al susto) es proferir varios “¡no!, ¡no!, ¡no!” guturales seguidos de diversos ejemplos que ponen en evidencia la maldad de la suma alternativa. A partir deesta escena la fracción maldita queda totalmente prohibida y la autoridad pertinente avisa de las consecuencias que una nueva aparición de ella podría implicar, ya sea a nivel individual o colectivo. En una encomiable actitud comprensiva ya Henri Poincaré encontró una justificación a la aparición impulsiva de la misteriosa fracción en clase:
Sólo hay dos métodos para enseñar fracciones: cortar,aunque sea mentalmente, un pastel, o hacerlo con una manzana. Con otro método cualquiera de enseñanza, los escola-
res prefieren sumar numeradores con numeradores y denominados con denominadores.
Atraídos por esta suma alternativa hemos estado indagando matemáticamente y didácticamente el tema y quisiéramos compartir con los lectores de este artículo los sorprendentes resultados de nuestraspesquisas.
Nombre y definición
A partir de dos fracciones a/b y c/d con c, d > 0 se puede, legítimamente, considerar la nueva fracción (a+b)/(c+d). A esta fracción se la denomina en inglés mediant (o según Ervin Wilson freshman sum la suma de los que están en el primer curso de la universidad). La palabra mediant tiene raíz latina pero no posee equivalente en español. Por tanto lo mejor quepodemos hacer es bautizar a este objeto con un nombre, por ejemplo, la fracción mediadora, expresión que recoge el sentido de ponerse en medio de.
Claudi Alsina
Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona
Carme Burgués
Universidad de Barcelona. Barcelona
39
SUMA 56 Noviembre 2007
Como se ha visto al principio, la fracción mediadora no es el resultado de una operación internabien definida en los números racionales pero sí puede formalizarse como una operación entre ciertos pares ordenados de enteros. Si Z (a, b)| a, b Z, b 0 podemos considerar: (a, b ) (c , d ) (a c , b d ) En este caso con la representación vectorial de (a, b) y (c, d) en el 1º y 2º cuadrantes, permite visualizar el elemento (a+c,b+d) como la suma de los vectores, es decir comodiagonal principal del paralelogramo determinado por (a, b) y (c, d).
En el caso extremo a/b = c/d resultará ac a c bd b d y la figura 1 pone en evidencia la necesidad de a·d = b·c que es la condición de equivalencia de fracciones.
Cafés con leche: largos y cortos
Carme prefiere el café con leche corto de café y Claudi lo prefiere largo.
Una interesante localización
Si a/b < c/d, conb, d > 0, la fracción mediadora (a + c)/(b + d) es un valor que siempre está situado entre las dos fracciones iniciales: a ac c . b bd d Aritméticamente basta notar que:
a/b (a+c)/(b+d)
Figura 2
c/d
En mezclas de líquidos (y en cocina en general) tiene mucho sentido considerar las razones entre un elemento y otro: 1 parte de café por cada 2 de leche, 1 parte de café por tres de...
Noviembre 2007, pp. 39-42
Los misterios de la fracción prohibida
En este artículo se muestran varios significados posibles para la misteriosa fracción (a+c)/(b+d) asociada a dos fracciones a/b y c/d. Haciendo esto encontramos algunas consideraciones didácticas interesantes.
In this article we show several possible meanings for the mysterious fraction (a+c)/(b+d) associated to twofractions a/b and c/d. In doing this we find some interesting didactical remarks.
L a multiplicación de fracciones a/b*c/d=(ac)/(bd) es
extraordinariamente simple de ejecutar y recordar: se multiplican numeradores y se multiplican denominadores. Sin embargo la suma a/b+c/d=(ad+bc)/(bd) tiene una inesperada complejidad. Por ello, desde la noche de los tiempos, los estudiantes acostumbran acalcular por iniciativa propia la suma alternativa a c ac (*) b d bd Salvo en algunos casos de severa incompetencia en que el profesor da por buena la igualdad (*) la reacción normal ante la aparición de (*) en clase (si el profesor sobrevive al susto) es proferir varios “¡no!, ¡no!, ¡no!” guturales seguidos de diversos ejemplos que ponen en evidencia la maldad de la suma alternativa. A partir deesta escena la fracción maldita queda totalmente prohibida y la autoridad pertinente avisa de las consecuencias que una nueva aparición de ella podría implicar, ya sea a nivel individual o colectivo. En una encomiable actitud comprensiva ya Henri Poincaré encontró una justificación a la aparición impulsiva de la misteriosa fracción en clase:
Sólo hay dos métodos para enseñar fracciones: cortar,aunque sea mentalmente, un pastel, o hacerlo con una manzana. Con otro método cualquiera de enseñanza, los escola-
res prefieren sumar numeradores con numeradores y denominados con denominadores.
Atraídos por esta suma alternativa hemos estado indagando matemáticamente y didácticamente el tema y quisiéramos compartir con los lectores de este artículo los sorprendentes resultados de nuestraspesquisas.
Nombre y definición
A partir de dos fracciones a/b y c/d con c, d > 0 se puede, legítimamente, considerar la nueva fracción (a+b)/(c+d). A esta fracción se la denomina en inglés mediant (o según Ervin Wilson freshman sum la suma de los que están en el primer curso de la universidad). La palabra mediant tiene raíz latina pero no posee equivalente en español. Por tanto lo mejor quepodemos hacer es bautizar a este objeto con un nombre, por ejemplo, la fracción mediadora, expresión que recoge el sentido de ponerse en medio de.
Claudi Alsina
Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona
Carme Burgués
Universidad de Barcelona. Barcelona
39
SUMA 56 Noviembre 2007
Como se ha visto al principio, la fracción mediadora no es el resultado de una operación internabien definida en los números racionales pero sí puede formalizarse como una operación entre ciertos pares ordenados de enteros. Si Z (a, b)| a, b Z, b 0 podemos considerar: (a, b ) (c , d ) (a c , b d ) En este caso con la representación vectorial de (a, b) y (c, d) en el 1º y 2º cuadrantes, permite visualizar el elemento (a+c,b+d) como la suma de los vectores, es decir comodiagonal principal del paralelogramo determinado por (a, b) y (c, d).
En el caso extremo a/b = c/d resultará ac a c bd b d y la figura 1 pone en evidencia la necesidad de a·d = b·c que es la condición de equivalencia de fracciones.
Cafés con leche: largos y cortos
Carme prefiere el café con leche corto de café y Claudi lo prefiere largo.
Una interesante localización
Si a/b < c/d, conb, d > 0, la fracción mediadora (a + c)/(b + d) es un valor que siempre está situado entre las dos fracciones iniciales: a ac c . b bd d Aritméticamente basta notar que:
a/b (a+c)/(b+d)
Figura 2
c/d
En mezclas de líquidos (y en cocina en general) tiene mucho sentido considerar las razones entre un elemento y otro: 1 parte de café por cada 2 de leche, 1 parte de café por tres de...
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