Los números reales

Los números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R

Números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.


Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; perolos números decimales ilimitados no.
Números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
 = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesosde crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto laradicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.


Operaciones con números reales
Suma
Propiedades1.-Interna:
a + b  
2.-Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3.- Conmutativa:
a + b = b + a
4.-Elemento neutro:
a + 0 = a
5.-Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
la diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a - b= a + (- b)

Producto
Propiedades
1.-Interna:
a · b  
2.- Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
3.- Conmutativa:
a · b = b · a
4.- Elemento neutro:
a ·1 = a
5.- Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.- Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
7.- Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
Intervalo abierto
(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado
[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha
[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Semirrectas
x > a
(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a
[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a
(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a
(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuandoes positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Propiedades
|a| = |−a|
|a · b| = |a| ·|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
Entornos
Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).Er(a) = (a-r, a+r)
Entornos laterales:
Por la izquierda
Er(a-) = (a-r, a)
Por la derecha
Er(a+) = (a, a+r)
Entorno reducido
E r*(a) = { x  (a-r, a+r), x ≠ a}

Potencias

Con exponente entero

Con exponente racional

Propiedades
1. a0 = 1 ·
2. a1 = a
3. am · a n = am+n
4. am : a n = am - n
5. (am)n=am · n
6. an · b n = (a · b) n
7. an : b n = (a : b) n
Radicales
Un...