Los nuevos fundamentos

Los nuevos fundamentos
En matemáticas, los fundamentos se refiere al desarrollo riguroso de un
tema desde axiomas y definiciones precisas. El obtener un fundamento
riguroso para el cálculo ocupó a los matemáticos por la mayor parte del
siglo que siguió a Leibniz y Newton y todavía es un área activa en la
actualidad. Los fundamentos del cálculo fueron objeto de diversas
especulaciones filosóficase interpretaciones informales, la falta de rigor y
laxitud con que fueron afrontados ciertos problemas de fundamentación
contribuyeron a la Crisis de los fundamentos de las matemáticas.
La preocupación formal en las obras geómetras conduce a dos grandes
hallazgos en el siglo xix: la geometría proyectiva y las geometrías no
euclidianas.

Las geometrías no euclidianas
• La creación de lasgeometrías no euclideas es uno de los ejemplos mas notables
de fecundidad que pueden llegar a tener las preocupaciones puramente formales.
• Desde tiempos muy remotos había llamado la atención de los geómetras el V
postulado de Euclides:
Dados un punto P y una recta r, existe una recta paralela a r que contiene a P, y
solamente una.
• Los geómetras supusieron que podría convertirse en teorema, enconsecuencia,
se dedicaron a demostrarlo a partir de los otros postulados. Que una proposición
verdadera cambie de status y pase de ser postulado a ser teorema, es algo que no
agrega ni quita nada a lo q suele llamarse el conocimiento matemática positivo.

• En la primera mitad del siglo xix Bolyai y Lobatchevsky llevaron a
fondo la investigación sobre el V postulado y descubrieron la
geometría noeuclidiana. Gauss parece haber concebido
simultáneamente similares ideas, aunque nunca las publico.

• Bolyai y lobatchevsky extrajeron conclusiones lógicas de la negación
del V postulado y no encontraron una contradicción con los otros
postulados por lo que formaron otro cuerpo de doctrina, lógico y
coherente sin contradicciones internas: una nueva geometría.

Con el auxilio de postulado V de Euclides,se demuestra que la suma de
los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180°(en el sistema
sexagesimal).remplazaron el V postulado por este:
Dado un punto P y una recta r que no contenga a dicho punto, existen
al menos dos paralelas a r que contienen a P.
Con el auxilio del nuevo postulado y los otros postulados básicos de
Euclides, demostraron que la suma de los angulos interiores de untriangulo depende del triangulo que se considere, pero en todos los
casos es menor que 180°.
En fin, llegaron a conclusiones que están en contradicción con el V
postulado, pero no llegaron a ninguna conclusión que contadijiera los
restantes postulados.

• Años mas tarde Riemann introdujo una nueva geometría no
euclideana. El postulado de Bolyai-Lobachevsky establece q por un
punto exterio a una rectapasan dos paralelas a dicha recta; Riemann
establece que no pasa ninguna y que la suma de los angulos
interiores de un triangulo en mayor a 180°

La trascendencia de la geometría no euclidiana
puede examinarse en cuatro planos distintos:
A. En el plano lógico matemático: lo único que podían afirmar al respecto Bolyai y
Lobachevsky es que ellos no habían encontrado hasta ese momento ningunacontradicción; pero ¿había alguna garantía de que no se hallaría una
contradicción, si se continuaban extrayendo conclusiones?
Un sistema axiomático es consistente si esta exento de contradicciones
internas.Bolyai y Lobachevsky no estaban en condiciones de demostrar que su
nueva geometría fuera consistente. El problema de la consistencia de las
geometrías no euclidianas en sentido absoluto no estaresuelto aun hoy. En
cambio, se hallan resueltos varios problemas de consistencia relativa. Por ejemplo,
a fines de los siglos xix Poicaré demostró que, si la geometría euclidiana es
consistente, las no euclidianas también lo son.

B. En el plano físico:
Decir que realidad es euclidiana o no euclidiana sin formular ciertas
convicciones mínimas, carece de sentido. Entonces,Indagar acerca del...