Los Numeros Irracionales

Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
Los números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los númerosreales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Operaciones con números reales
Suma
Propiedades
1.Interna:
a + b  
2.Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3.Conmutativa:
a +b = b + a
4.Elemento neutro:
a + 0 = a
5.Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
la diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (- b)
Producto
Propiedades
1.Interna:
a · b  
2.Asociativa:
(a · b) · c = a ·(b · c)
3.Conmutativa:
a · b = b · a
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
5. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
7.Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
Intervalo abierto
(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado
[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por laderecha
[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Semirrectas
x > a
(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a
[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a
(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a
(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a esnegativo.

Propiedades|a| = |−a|
|a · b| = |a| ·|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
Entornos
Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).
Er(a) = (a-r, a+r)
Entornos laterales:
Por la izquierdaEr(a-) = (a-r, a)
Por la derecha
Er(a+) = (a, a+r)
Entorno reducido
E r*(a) = { x  (a-r, a+r), x ≠ a}

Potencias

Con exponente entero

Con exponente racional

Propiedades
1.a0 = 1 ·
2.a1 = a
3.am · a n = am+n
4.am : a n = am - n
5.(am)n=am · n
6.an · b n = (a · b) n
7.an : b n = (a : b) n
Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n   y a   ; con tal quecuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene unradical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentescorrespondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el...