Los Numeros Reales

Números Reales
En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras noperiódicas.

El conjunto de los números reales

Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos.)

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma, donde m y n son enteros.

Número Reales (R): todos los racionales y losirracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.
Representación de los números reales como punto en la recta recta:

Los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.Intervalos:

es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula,infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
Notación | Intervalo | Longitud | Descripción |
| | | Intervalo cerrado de longitud finita. |
| | | Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b). |
| | | Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b). |
| | | Intervalo abierto. |
| | | Intervalo semiabierto. || | | Intervalo semiabierto. |
| | | Intervalo semiabierto. |
| | | Intervalo semiabierto. |
| | | Intervalo a la vez abierto y cerrado. |
| | | Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado). |
| x no existe | Sin longitud. | Conjunto vacío. |

Desigualdades:
En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos sondistintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
* La notación a < b significa a es menor que b;
* La notación a > b significa a es mayor que b;
estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser iguala b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
* La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
* La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
* La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
* La notación a ≫ b significa a esmucho mayor que b;
esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
Propiedades
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus...