los numeros

1.2 EL NUMERO COMO OBJETO DE ESTUDIO.

RELACION DE NUMEROS
Se puede describir la relación entre dos números con sólo insertar dos puntos entre ellos. La relación entre 2 y 8, por ejemplo, es 2:8. La relación entre 10,5 y 2,1 es 10.5:2.1. La relación entre 40 y 50 es 40:50. Sin embargo, si se quiere describir la simple razón que representa la relación entre los dos números, es necesariocalcular más. Los pasos a seguir dependen de la naturaleza de los números.
1.- Divide ambos números en la relación por el número a la izquierda de los dos puntos. Con el ejemplo de 2:8, divide ambos números por 2 da 1:4. Ambos números fueron divididos en partes iguales, por lo que se ha simplificado completamente la relación. Los ejemplos de 10.5:2.1 y 40:50, sin embargo, producen resultados 1:0,2 y"1:1,25." Los números se dividieron de manera uniforme, por lo que debes simplificar más.
2.- Mueve el punto decimal a la derecha de cada número hasta que ambos están enteros. Con 1:0,2, mueve el decimal un lugar para conseguir 10:2. Con 1:1,25, mueve el decimal dos lugares para conseguir 100:125.
3.- Divide cada número por los números de los factores compartidos hasta que no persistan másfactores comunes. En 10:2, dividiendo por 2 da 5:1. Se ha simplificado completamente la relación. Con 100:125, dividiendo cada uno por 5 da 20:25. Pero se puede dividir entre 5 otra vez, y cuando lo hagas, conseguirás 4:5. Estos números no comparten más factores, por lo que has simplificado completamente la razón.
RELACION DE ORDEN.
En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría delorden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.
Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden1 si cumple las siguientes propiedades:
1. Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .
2.Antisimetría: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
3. Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,
Una relación de orden sobre un conjunto puede denotarse con el par ordenado .
Relación de orden amplio
En el caso deque R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión. La inclusión no es una relación de orden total.
RELACION DE ORDEN TOTAL
Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,
.
Ejemplo estotalmente ordenado. En efecto, es:
Reflexivo: entonces (porque por definición, )
Antisimétrico: si y entonces
Transitivo: si y entonces
Orden total, pues
Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m.

RELACION DE ORDEN PARCIAL
Sea un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de se relacionan entre sí, es decir,
tal que .Ejemplo. Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por:

Entonces es parcialmente ordenado, pues sean

pero
Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.
RELACION DE ORDEN DENSA O BIEN ORDENADA
Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y yx ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.
Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3:= (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y...