Los números complejos

Apuntes de ´Algebra Lineal Tema 1
Los nu´meros complejos
1.1. Operaciones aritme´ticas con nu´meros complejos
La unidad imaginaria
Los n´umeros complejos aparecieron hist´oricamente cuando los matem´aticos aceptaron la po- sibilidad de realizar operaciones aritm´eticas en las que interviniese una ra´ız cuadrada de un n´umero negativo. Al principio esto fu´e aceptado con mucha cautelasolamente en aquellos ca- sos en los que dicha ra´ız cuadrada acababa siendo elevada al cuadrado, recuper´andose as´ı un n´umero “real”. Estasmanipulacionesaritm´eticas“formales”sepuedenjustificaraceptandounn´umero“ima- ginario”, denotado i y llamado unidad imaginaria, caracterizado por la propiedad de que su cua- drado es igual a−1: i2 = −1. (1.1) La introducci´on de este n´umero i tieneunas enormes consecuencias que, sin duda fueron insospechadas al principio, pero lo que s´ı estuvo claro desde el principio es que el n´umero i no s´ olo nos permite calcular la ra´ız cuadrada de todo n´umero real (para todo n´umero real positivo a setiene:√−a2 = a√−1 = ai)sinoqueadem´asnospermitecalcularlassolucionesdecualquier ecuaci´on de segundo grado, pues la f´ormula x = −b±√b2 −4ac 2a(1.2) deja de tener excepciones. En otras palabras: Al introducir una ra´ız del polinomio p(x) = x2 + 1 se esta´n obteniendo automa´ticamente dos ra´ıces (posiblemente coincidentes) para todos los polinomios de segundo grado con coeficientes reales.
Primera definicio´n de los nu´meros complejos
La simple regla (1.1), junto con las dem´as reglas de la aritm´etica (propiedades de las opera-ciones), nos permite deducir que la unidad imaginaria debe cumplir tambi´en: i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, ... (1.3) As´ıpues,vemosquesisequiereevaluarcualquierfunci´onpolin´omica, p(t) = a0 +a1t+···+a ntn, en t = i el resultado siempre ser´a una expresi´on de la forma
p(i) = x + yi
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Apuntes de ´Algebra Lineal Tema 1. Los n´umeros complejos
donde x est´a determinado por los coeficientes degrado par (y claramente es igual a la suma alternada x = a0−a2 +a4−···)ydonde y est´adeterminadoporloscoeficientesdegradoimpar (y es igual a la suma alternada y = a1 −a3 + a5 −···).
Ejercicio: Escribir las expresiones generales para el x y el y anteriores usando el s´ımbolo de sumatorio. Seg´un lo anterior, todo polinomio evaluado en i nos da como resultado un polinomio en i degradomenorquedos(esdecir,degradounoodegradocero).Estonosllevaaunadelasposibles definiciones de los n´umeros complejos que es la siguiente:
Definicio´n: Los n´umeros complejos son los polinomios de coeficientes reales y grado menor que dos evaluados en una cantidad i, llamada unidad imaginaria, que tiene la propiedad i2 = −1.
Operaciones con nu´meros complejos
Tratando a los n´umeros complejos comopolinomios en i y teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la unidad imaginaria de tener cuadrado igual a−1, resulta sencillo realizar con los n´umeros complejos las operaciones aritm´eticas de sumar, restar y multiplicar.................................................................................................................................................................................................
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............................................................................. (poner ejemplo) .............................................................................................................................................................................................................................................................................
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