Los Números Reales

Los Números Reales vhale_027
Introduccion
Axiomas de Cuerpo
Axiomas de Orden
Axioma del Supremo
Ejercicios Propuestos
Introduccion
El conjunto de los Números Reales, , puede ser caracterizado de varias formas. Aquí daremos la caracterización axiomática, a diferencia de las versiones constructivas tales como la que usa Cortaduras de Dedekind o la construcción mediante Sucesiones de Cauchy.La obtenci\on de  en forma constructiva es bastante m\as complicada que la que daremos a continuaci\on. La \unica diferencia consiste en que son necesarios otros axiomas para construir conjuntos de n\umeros con los cuales se construir\an a su vez los n\umeros reales.
El conjunto de los n\umeros reales,  es un conjunto en el que se cumplen los siguientes axiomas:
1. Axiomas de Cuerpo.
2.Axiomas de Orden.
3. Axioma del Supremo o de Completitud.
Lo anterior se resume diciendo que  es un Cuerpo Ordenado Completo.
Axiomas de Cuerpo
Primero estudiaremos los axiomas de cuerpo, que se refieren a las propiedades algebraicas (de ``operatoria'') de los numeros reales.
Comencemos recordando algunas propiedades que satisfacen algunos con-jun-tos ba-jo ``ope-ra-ciones'': clau-su-ra,asociatividad, existencia de elemento neutro, existencia de elemento inverso y conmutatividad.
Consideremos el conjunto 

llamado el conjunto de los N\umeros Naturales.
Observemos que 

En general se tiene que si  la suma  tambi\en pertenece a . En otras palabras en  provisto de la suma (+) se cumple la propiedad de clausura o cerradura.
En cambio si consideramos el subconjunto  de ; vemos que no se cumple la clausura bajo la suma.
En efecto  y  pero . Es decir, al sumar dos elementos del conjunto  no siempre se obtiene como resultado un elemento del conjunto .
Es claro que  también verifica las propiedades asociativa y conmutativa, es decir, para todo ; 

Sin embargo, no existe un elemento en  que sea neutro para esta operación. Dicho en forma más precisa, no existe unelemento  tal que al sumarlo con cualquier elemento  se obtenga el mismo número  en .
Por otra parte, si consideramos  bajo la operación producto (o multiplicación) se tiene que se cumplen las siguientes propiedades:
i)
Si , entonces 
ii)
Para todo  se verifica 

iii)
Existe  tal que para todo  

iv)
Para todo  

Así, en  con la multiplicación , se verifica las propiedades de clausura (i),asociatividad (ii), existencia de neutro (iii) y conmutatividad. Pero, dado  no existe un elemento  tal que al multiplicarlo con  se obtenga el elemento neutro , es decir, no se verifica la propiedad de existencia de inverso.
?`Qu\e conjunto cumplir\a con todas las propiedades mencionadas?
Consideremos el conjunto de los N\umeros Enteros 

donde 

En  con la suma (+) se verifica:
i)Clausura:
Para todo , se tiene que 
ii)
Asociatividad:
Para todo  

iii)
Existencia de neutro:
Existe , tal que para todo  

iv)
Existencia de inverso:
Para todo , existe  tal que 

v)
Conmutatividad:
Para todo  

En cambio, si consideramos  bajo la operaci\on producto  se verifican (i), (ii), (iii) (en este caso 1 hace el papel de neutro) y (v). Sin embargo no se verifica lapropiedad de inverso, (iv), puesto que: Dado  no siempre existe  tal que 

Diremos que  bajo la operaci\on de suma (+) es un grupo y anotaremos  es grupo; en cambio,  no es grupo.
Diremos que  es una operaci\on(``binaria") en  si para todo  en  existe un \unico  en .
Nota: El hecho que  está en  y no en otro conjunto se acostumbra a decir que cumple la propiedad de clausura.
Estructura de GrupoSea  un conjunto no vacío y  una operaci\on en . Diremos que  es un grupo bajo la operaci\on  si las siguientes tres afirmaciones son ciertas
i)
Asociatividad:
Para todo  en , se cumple 

En símbolos 

ii)
Existencia de elemento neutro:
Existe , elemento neutro en , tal que para todo  en , se tiene 

En símbolos 

iii)
Existencia de elementos inversos:
Para todo  en , existe  en  tal...