Los patriarcas del estaño en bolivia

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

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9. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
La integración numérica y diferenciación numérica se emplean cuando las funciones a integrar o diferenciar se encuentran en forma tabular, gráfica o son demasiado complejas como para integrarlas analíticamente. Sin embargo, aún en situaciones donde las funciones no son relativamente sencillas se recurre a laintegración y diferenciación numérica, simplemente porque es más rápido y sencillo encontrar el valor de la integral o derivada numéricamente que analíticamente, esto por supuesto siempre y cuando se haya programado el proceso. En la diferenciación numérica se aplica una de varias fórmulas deducidas en base al concepto de la derivada, las cuales aproximan la diferencia infinitesimal a una diferenciafinita. En la integración numérica se cuenta con varios métodos que encuentran el valor de la integral siguiendo diferentes caminos pero que en general aproximan la sumatoria de elementos infinitesimales a la sumatoria de elementos finitos. En este tema se estudiarán algunos de dichos métodos. 9.1. DERIVACIÓN NUMÉRICA

Como se dijo, el cálculo numérico de las derivadas se basa en el concepto dela derivada:

dx Δy = lim dy Δ x → 0 Δ x

(9.1)

Numéricamente se consigue una aproximación al límite empleando valores suficientemente pequeños de “∆x”, de manera que “∆x” tienda a cero. En su aproximación más simple, se toman dos valores alrededor de “x” de manera que su diferencia se aproxime a cero (tienda a cero), con estos valores se calculan los correspondientes valores de “y”(reemplazando los valores de x en la función), entonces la división de la diferencia de los valores de “y” entre la diferencia de los valores de “x” constituye el valor aproximado de la derivada. Por ejemplo para calcular la derivada primera de una función en un punto dado "x", se toman dos valores cercanos a "x": uno ubicado al lado izquierdo: "x-h" y otro al lado derecho: "x+h", siendo "h" una fracciónpequeña de x. Entonces la diferencia de los valores de “y” entre los valores de “x” (los valores de la función) constituyen el valor aproximado de la derivada:€

dy f ( x+h)− f ( x−h) f ( x+h)− f ( x−h) ≈ = dx ( x+h)−( x−h) 2⋅h

(9.2)

Que, como se puede ver, es la fórmula empleada en el método de Newton – Raphson para el cálculo de la derivada. Esta fórmula se conoce como fórmula dediferencia central, porque los valores con los cuales se calcula ∆x se encuentra a ambos lados del punto “x”. Si en lugar de dos valores a ambos lados de “x” se toma sólo uno a la izquierda de x: “x-h” y el valor de “x”, se obtiene:

dy f ( x)− f ( x−h) f ( x)− f ( x−h) ≈ = dx x−(x−h) h

(9.3)

Que se conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, porque el valor de ∆x se calcula con uno antes de“x” (x-h) y el propio valor de (x).

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Hernán Peñaranda V.

Si, por el contrario, se toma un valor a la derecha de “x”: “x+h” y el propio valor de “x” se obtiene:

dy f ( x+h)− f ( x) f ( x+h)− f (x ) ≈ = dx (x +h)−x h

(9.4)

Que se conoce como fórmula de diferencia hacia adelante, porque el valor de ∆x se calcula con uno después de “x” (x+h) y el propio valor de (x). Estasecuaciones pueden ser deducidas tomando no sólo uno o dos puntos, sino cuatro o más, antes y/o después del valor de “x” para el cual se quiere calcular la derivada. Mientras más puntos se empleen para el cálculo de ∆x más exacto será el resultado obtenido. Así, de las tres fórmulas deducidas, la más exacta es la de diferencia central (9.2), porque en su deducción se emplean dos puntos. La deducción delas fórmulas para las derivadas de segundo, tercer y órdenes superiores sigue el mismo principio, pero en lugar de la función original se emplean las fórmulas deducidas para las derivadas de orden inferior. Así para obtener la derivada segunda se emplea las fórmulas de la derivada primera, para la tercer las fórmulas de la derivada segunda y así sucesivamente. En función al número de valores...