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Análisis Vectorial
Campos Escalares y Vectoriales.
Se define como campo escalar a una función (x, y, z) de la posición que le hace corresponder en forma unívoca un escalar a cada punto de ese espacio.
Campos escalares son la temperatura en un instante dado para una región espacial.
También lo son la presión, la densidad, etc. para cada punto de una región en un instante
definido.
Tambiénse define al campo vectorial como la función A(x, y, z)
vectorial de la posición, que asigna en forma unívoca a cada punto del espacio una magnitud vectorial.
Son conocidos como campos vectoriales el campo gravitatorio, el campo eléctrico y el
magnético, el campo de velocidades de un fluido, etc.
En la figura se ve un campo eléctrico E creado por una carga positiva.
El campo se indica por lasflechas salientes y su longitud indica la intensidad del campo en los puntos desde donde parten.
Las circunferencias concéntricas se llaman líneas equipotenciales. En el espacio son superficies equipotenciales.

Derivada de un campo vectorial con respecto a un escalar.
Consideremos un campo vectorial A que depende unívocamente de un conjunto de variables escalares u1,u2 ,...y que designaremoscomo:
A = A(u1,u2 ,u3 ,...)
Admitiremos además que tal función vectorial es continua, o sea:
A(ui + Δui ) − A(ui ) <ε ∀ u <δ y ε →0; δ →0
Ejemplos de campos uniformes son el campo eléctrico E(x, y, z,t), función de la posición y del tiempo. También lo es el vector posición, función de la posición y ésta función del tiempo:
r = r (x, y, z)→r[x(t); y(t); z(t)]
De tal forma queaceptando estas definiciones de un campo o función vectorial, podemos definir su derivada como: para las derivadas escalares y son componentes de un vector.
(2-2)
con F(s) una función escalar de s .
Además:
d (A B) dA B A dB ; d (A B) dA B A dB (2-3)
En la segunda ecuación se debe mantener el orden de los productos entre A y B
Gradiente y Derivada direccional de una función escalar.
Sea Ψ1(x, y,z) = cte la ecuación de la superficie Ψ1 y tomemos un
punto Q(x, y, z) sobre tal superficie. Para definir el punto Q también es posible definir unafunción vectorial que una OQ , y ese vector será el vector posición rQ (x, y, z) = OQ.
Sobre la superficie Ψ1 definamos unadirección mediante el versor ˆ e que apunta haciaQ1 . El versor estará definido por los tres cosenos directores cosα1, cosα2 ,cosα3 .
La ecuación vectorial que apunte de Q a Q1 en la dirección eˆ será: r = rQ + qeˆ y las ecuaciones paramétricas, con q parámetro son:
A lo largo de esta trayectoria la función Ψ1(x, y, z) es una función de q solamente y
cuya derivada, o incremento de la función en el punto Q será:
Y por definición, se llama derivada direccional de la función escalar Ψ1 según la dirección eˆ , a laderivada respecto del parámetro q :
Que por (2-4) da: 1 1 1 1
cos 1 cos 2 cos 3 d
Si combinamos ahora los tres factores de la derivada (2-7) con la función vectorial ∇
(que luego definiremos como GradΨ1), definida por la expresión: (2-8)
Habida cuenta de que los cosenos directores de ˆ e
se definen como: 1 2 3
cosα = eˆ ⋅iˆ ; cosα = eˆ ⋅ ˆj ; cosα = eˆ ⋅ kˆ
La derivada (2-7) se convierte en: 1En el caso en que la superficie sea una superficie de nivel φ (x, y, z) = cte. y sea nˆ su
versor normal, puede ponerse que nˆ d dn como derivada normal.
Para una función de superficie genérica (x, y, z) = cte su incremento diferencial
y tomando un desplazamiento elemental genérico dr = dxiˆ + dy ˆj + dz kˆ r
introducimos nuevamente la expresión de gradiente antes nombrada:
obtenemos que eldiferencial total de una función escalar de punto tiene la expresión sintética:
d = Grad ⋅ dr → d = ∇ ⋅ dr (2-10)
Ejemplo 2-1.
La ecuación de esta parábola es:
x y 2ϕ = x – y
Ejemplo 2-1.
La ecuación de esta parábola es:
( , )
1 4
x y 2ϕx −y 
Se pide hallar las derivadas

Definición formal de Gradiente.
Como puede comprobarse con el cálculo del gradiente de la función en el...