Los problemas griegos

Universidad Nacional de General Sarmiento - 2011 ´ GEOMETR´ PARA EL PROFESORADO EN MATEMATICA IA

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ESTABLECIENDO CONEXIONES ENTRE GEOMETR´ Y IA ´ ALGEBRA
En esta gu´ aprenderemos sobre problemas de construcciones geom´tricas que “excitaron el ingenio de ıa e los ge´metras griegos” y que fueron puntapi´ de interesantes desarrollos matem´ticos a lo largo de m´s de o e a a veinte siglos.Estos desarrollos no se limitaron a las herramientas y conceptos de la geometr´ sint´tica por ıa e lo que recurriremos a otros conceptos y propiedades. Los problemas que estudiaremos son problemas de construcciones geom´tricas con regla y comp´s, elementos que constitu´ la principal tecnolog´ del mundo e a ıan ıa griego para hacer sus construcciones sobre los terrenos. Desde el punto de vistamatem´tico, un problema de construcci´n trata de abarcar la mayor cantidad a o de casos posibles ya que una figura pueda construirse bajo ciertas condiciones muy puntuales puede ser util desde el punto de vista pr´ctico pero no muy potente desde el punto de vista del desarrollo te´rico ´ a o matem´tico. Un problema de construcci´n podr´ enunciarse del siguiente modo: Para toda figura de alg´n a o ıa utipo (segmento, ´ngulo, etc.) ¿es posible construir otra figura geom´trica con requerimientos prefijados, con a e las restricciones que ofrecen los artefactos de construcci´n?. Por ejemplo: Para todo ´ngulo agudo y para o a todo segmento no nulo dados, ?es posible construir la figura que contiene a todos los puntos que “ven” al segmento dado bajo dicho ´ngulo con regla no graduada y comp´s? Sabemos quela respuesta es afirmativa a a y define el lugar geom´trico llamado arco capaz que fue de gran utilidad para la navegaci´n en tiempos no e o satelitales. Nota: En toda esta lista de actividades, los polgonos son convexos. ACTIVIDAD 1. 1. Dada una cantidad finita de segmentos de medidas m1 , m2 , m3 , . . . , mn , ¿Cu´les son las construcciones a que seguro pueden realizarse con regla y comp´s condichos segmentos? a 2. Considere el plano dotado de un sistema cartesiano ortogonal de coordenadas. Explique cu´les son las a manipulaciones algebraicas por las cuales se determinan las coordenadas de los puntos resultantes de las construcciones por regla y comps. 3. Definici´nes: o (a) Un n´mero a es constructible a partir de m1 , m2 , . . . mn cuando |a| puede obtenerse por construcu ciones conregla y comp´s a partir de los segmentos de medidas dadas y del segmento unidad. a (b) Dados segmentos de medidas m1 , m2 , . . . mn , no nulas, llamamos campo de constructibilidad de m1 , m2 , . . . mn al conjunto de nmeros, cuyos valores absolutos son medidas de segmentos con´ structibles con regla y comp´s a partir de los segmentos dados y del segmento unidad. Lo a denotamos C[m1 , m2 , . . .mn ]

(a) Mostrar, reflexionando sobre los procedimientos de construcci´n con regla y comp´s, que C[m1 , m2 , . . . mn ] o a es un cuerpo. (b) Para la medida m = 1 (la unidad), describir c´mo son los elementos de C[1]. Describir en general o c´mo son los elementos de C[m1 , m2 , . . . mn ]. o √ (c) Mostrar que α > 0 ∈ C[1] ⇔ α ∈ C[1] (d) Mostrar que si α ∈ C[1] entonces existe un polinomio f concoeficientes racionales, de grado mayor o igual a 1, tal que f (α) = 0.

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(e) Sobre la constructibilidad de π. Sabiendo que π es trascendente, es decir que no existe ning´n polinomio con coeficientes racionales tal que π sea ra´ de ´l (Teorema de Lindemann) u ız e ¿Qu´ puede decir de la constructibilidad de π si le dieran como datos unsegmento unidad? e 4. Definici´n: Llamamos grado de un n´mero α, al menor de los grados de los polinomios f ∈ Q[X] o u tales que f (α) = 0. (a) ¿Qu´ puede decir de los grados de los elementos de C[1]?. e ACTIVIDAD 2. Cuadrar una figura significa construir un cuadrado cuya ´rea sea igual al ´rea de la figura dada. a a 1. Mostrar, mediante una construcci´n geom´trica, que es posible cuadrar un tri´ngulo...