Los Puntos Comunes De Una Parábola Con El Eje X

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado.[1] [2] Es decir que la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es

donde x representa lavariable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejosexisten siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática[3] a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
,
donde el símbolo ± indica que los valores
| y | |
constituyen las dos soluciones.

Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee unasolución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real demultiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
.
* Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

* Dos números complejos conjugados si eldiscriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.
La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]
1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, sondistintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula sededuce más adelante.
2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de cson del mismo signo.
Una ecuación cuadrática incompleta:

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.
3. Incompleta mixta. Se expresa así:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

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