los servicios del pan

Ecuaciones de primer y segundo grado
Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 · (x + 1)

2x + 1 = 2x + 2

1≠2.

2x + 2 = 2x + 2

2=2

Cierta
2x + 2 = 2 · (x + 1)

Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1)

2x +2 = 2x + 2

2=2

Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x+1=2

x=1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos
lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

1

Las soluciones son los valores que debentomar las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2

solución x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2

−13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus
miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1

Ecuación de primer grado.

5x + 3 = 2x2 + x

Ecuación de segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x2Ecuación de tercer grado.

5x3 + 3 = 2x4 +1

Ecuación de cuarto grado.

Clasificación de ecuaciones
1. Ecuaciones polinómicas enteras
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus
miembros.

Tipos de ecuaciones polinómicas
1.1 Ecuaciones deprimer grado o lineales
Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer
términos y simplificar adoptan esa expresión.
(x + 1)2 = x2 - 2
x2 + 2x + 1 = x2 - 2
2x + 1 = -2
2x + 3 = 0

2

1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
ax2 + b = 0ax2 + bx = 0

1.3 Ecuaciones de tercer grado
Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

1.4 Ecuaciones de cuarto grado
Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.
ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

1.5 Ecuaciones de grado n
En general, las ecuaciones de gradon son de la forma:
a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0

2. Ecuaciones polinómicas racionales
Las ecuaciones polinómicas son de la forma

𝑃𝑃(𝑥𝑥)

𝑄𝑄(𝑥𝑥)

= 0 , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

3. Ecuaciones polinómicas irracionales
Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo
radical.

3

4. Ecuaciones no polinómicas
4.1 Ecuacionesexponenciales
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

4.2 Ecuaciones logarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

4.3 Ecuaciones trigonométricas
Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como
éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

4

Ecuacionesequivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x − 3 = 3x + 2

x = −5

x + 3 = −2

x = −5

Criterios de equivalencia de ecuaciones
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la
ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o seles divide una misma
cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x+2=3
x + 2 −2= 3 −2
x=1

Ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º...