los tengos perdidos
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Publicado: 3 de noviembre de 2014
Definición[editar]
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Escrito como ecuación algebraica: \frac{a+b}{a}=\frac ab
Siendo el valor del número áureo φ el cociente \frac ab
Surge al plantear el problemageométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo[editar]
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
\frac{a+b}{a}=\frac ab
Si \varphi es igual a \frac ab entonces laecuación queda:
1 + \varphi^{-1} = \varphi
Multiplicando ambos miembros por \varphi, obtenemos:
\varphi + 1 = \varphi^2
Igualamos a cero:
\varphi^2 - \varphi - 1 = 0
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1\textrm{.}61803398874989\ldots
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación \frac ab.
Historia del númeroáureo[editar]
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienenmuchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.6
Antigüedad[editar]
Elprimero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:
"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".
Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.
Euclides demostró también que este número no puede ser descritocomo la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dioorigen".
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideróque los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa queintentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro,...
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Escrito como ecuación algebraica: \frac{a+b}{a}=\frac ab
Siendo el valor del número áureo φ el cociente \frac ab
Surge al plantear el problemageométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo[editar]
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
\frac{a+b}{a}=\frac ab
Si \varphi es igual a \frac ab entonces laecuación queda:
1 + \varphi^{-1} = \varphi
Multiplicando ambos miembros por \varphi, obtenemos:
\varphi + 1 = \varphi^2
Igualamos a cero:
\varphi^2 - \varphi - 1 = 0
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1\textrm{.}61803398874989\ldots
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación \frac ab.
Historia del númeroáureo[editar]
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienenmuchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.6
Antigüedad[editar]
Elprimero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:
"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".
Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.
Euclides demostró también que este número no puede ser descritocomo la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dioorigen".
Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideróque los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa queintentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro,...
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