Los vectores

Introducción


En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).1 2 3 Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de rectadirigidos («flechas») en el plano  o en el espacio.
En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de esemodo.
Algunos ejemplos de mangitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad omódulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.









Producto de un vector por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráficadel vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Sean  un escalar y  un vector, el producto de  por  se representa  y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería
















Producto Escalar


En matemática, el producto escalar,también conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en inglés, dot product), es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirsetambién en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una formacuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

Donde  es un espacio vectorial y  es el cuerpo sobre el que está definido. La función  (que toma como argumentos dos elementos de, y devuelve un elemento del cuerpo) debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha: 
2. Hermiticidad: ,
3.Definida positiva: , y  si y sólo si x = 0,
Donde  son vectores de V,  representan escalares del cuerpo  y  es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo  o  dotado de unproducto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio...