Los vectores

Álgebra lineal: Vectores; producto escalar

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Vectores en el espacio. Producto escalar
1. Espacios vectoriales
1.1. Definición de espacio vectorial
Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma)
y otra externa (producto por números reales, R), cumpliendo las siguientes propiedades:
Suma
Producto por números





 

1. a + b= b + a
5. λ·(a + b ) = λ·a + λ·b



     
6. (λ + µ)·a = λ·a + µ·a
2. (a + b ) + c = a + (b + c )


  
7. (λ·µ)·a = λ·(µ·a )
3. a + 0 = a
 


8. 1·a = a
4. a + (−a ) = 0
(λ, µ ∈ R)
  
( a , b , c ∈ E)



El vector 0 es el neutro de la suma; − a es el opuesto de a ; 1 es el neutro, la unidad, del
producto de números reales.
A cualquier elemento deE se le llama vector.
El espacio vectorial R2
El conjunto de los puntos del plano, R2, es un espacio vectorial. Sus elementos son de la
forma (a, b) o (a 1 , a 2 ). Este espacio vectorial es de dimensión 2: largo y ancho. Sus puntos se
representan en el plano cartesiano.
Las operaciones suma y producto por números se definen así:
Suma:
(a1 , a 2 ) + (b1 ,b 2 ) = (a1 + b1 , a 2 + b2 )Producto: λ(a1 , a 2 ) = (λa1 , λa 2 )
•

Ejemplos:
a) (5, 3) + (–2, 1) = (5 – 2, 3 + 1) = (3, 4).
b) El opuesto de (–3, 5) es –(–3, 5) = (3, –5).
c) El elemento nulo de R2 es (0, 0).
d) (−2, 4) + 5(3, −1) − 2(−1, 3) = (−2, 4) + (15, −5) − (−2, 6) = (15, −7).
El espacio vectorial R3
El conjunto de los puntos del espacio, R3, es un espacio vectorial. Sus elementos son de la
forma (a, b, c) o(a1 , a 2 , a 3 ) . Este espacio vectorial es de dimensión 3: largo, ancho y alto.
Sus puntos se representan en el triedro cartesiano.
•

Las operaciones suma y producto por números se definen así:
Suma:
(a1 , a 2 , a3 ) + (b1 , b 2 , b3 ) = (a1 + b1 , a 2 + b2 , a 3 +b3 )
Producto: λ (a1 , a 2 , a 3 ) = (λa1 , λa 2 , λa 3 )
Ejemplos:
a) El elemento nulo de R3 es (0, 0, 0).
b) El opuestode (−3, 2, 1) es (3, −2, −1).
c) (2, −7, 0) + 3(−1, 1, 0) − (2, −4, −5) = (2 − 3 − 2, −7 + 3 + 4, 0 + 0 + 5) = (−3, 0, 5).

José María Martínez Mediano

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Observaciones:
1) No es difícil demostrar que las operaciones anteriores cumplen las propiedades de espacio
vectorial. En todos los casos la demostración se apoya en las propiedades delas operaciones
con números reales.
2) Otros espacios vectoriales son: el conjunto de polinomios de grado 2, por ejemplo; el
conjunto de matrices de dimensión 2 × 3;…
3) En general, un vector es un conjunto ordenado de números (a1 , a 2 ,..., a n ) . Los números a1,
a2,…, an se llaman componentes o coordenadas del vector. El número de componentes es su
dimensión.
1.2. Vectores fijos yvectores libres (en el plano y en el espacio)
El vector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llama vector fijo AB .
− Módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se denota AB
− Dirección de AB es la de la recta que contiene a A y a B.
− Sentido de AB es el que indica el traslado de A a B.
• Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la mismadirección y el
mismo sentido. Si AB y CD son equipolentes, entonces el polígono de vértices A, B, D y C
(en ese orden) es un paralelogramo.

Vector fijo de
extremos A y B

Vectores
equipolentes


Vector libre p . Es
equipolente a AB .

Se llama vector libre a un vector y a todos los que son equipolentes a él; esto es, todos los
que se obtienen trasladándolo (paralelamente). Entre ellostiene especial importancia el que
parte del origen de coordenadas, en el punto O.
•

• Correspondencia entre puntos y vectores
Entre puntos de R2 (o de R3) y vectores libres del plano (o del
espacio) existe una biyección:
A cada vector AB , equipolente a OP , se le asocia el punto P.

A cada punto P se le asocia el vector p = OP .


Se escribe, indistintamente, P = (a1 , a 2 ) o p...