LOS N MEROS IMAGINARIOS Matematica Folleto Fernando Polanco

LOS NÚMEROS IMAGINARIOS
Para dar solución al problema de extraer la raíz n-enésima de una cantidad, seguimos la propiedad que dice: que esta debe ser un número que elevado al índice de la raíz reproduzca la cantidad sub-radical.
Ejemplos
1) = 2) = 2
= 9 = 32
= 9

Ahora bien, para dar solución al problema de extraer una raíz par a una cantidad negativa, nos valdremos deun artificio matemático que nos lleva a expresar el radicando del siguiente modo:
1) = 2) = 7
(-1) = × = (-1) = × =

Con esta solución se crea un nuevo conjunto numérico, que es el que tiene el factor .
Este nuevo conjunto se llama “Conjunto de los números imaginarios”.

La expresión , se simboliza con la letra “i” y se llama unidad imaginaria = i).

Lo másimportante de esta solución, es la ampliación de los números reales, alcanzando el conjunto de los números imaginarios. En conclusión:
“El numero imaginario: es el que resulta de extraer una raíz par a una cantidad negativa”.

Los números complejos:
Son aquellos que tienen una parte real y otra parte imaginaria.
El numero complejo tiene forma inicial “a+bi”, donde “a” y “b” son dos números reales e “i”,la unidad imaginaria.

Los números complejos se pueden expresar de cinco formas:
a) Forma binomica o aritmética: es cuando el numero comlejo esta en la forma “a+bi”.
Ejemplos
1) 3+6i 2) -5+4i 3) 9+i 4) 8+0i 5) 1/2 + 5/2i

Cuando un numero esta en la forma binomica se puede distinguir dos componentes que son:
La componente real y la componente imaginaria.

Un numero complejo en formabinomica puede ser:
Real puro: es cuando la parte imaginaria es igual a cero (0). Ej.: 3+0i
Imaginario puro: es cuando la parte real es igual a cero (0). Ej.: 0+4i


b) Forma par ordenado:
Es cuando al número complejo “a+bi”, le quitamos la unidad imaginaria (i), y lo expresamos como una pareja de par ordenado (a, b).
1) 3+6i = (3,6) 2) -5+4i = 3) 9+i = 4) 8+0i =

c) Forma gráfica:Aprovechando la correspondencia biunívoca que existe entre las parejas de números y los puntos del plano cartesiano, se puede lograr una representación gráfica del número complejo, tomando la componente real del eje “x” y la componente imaginaria del eje “y”.

Así el número complejo 2+5i, se representa asi: (5, 3)






Ejemplos para clase
Graficar los siguientes números complejos.
1) 2+5i 2) -5+3i3) -3-4i 4)1/2 – 9/2i

Cuaderno de tarea
Graficar los siguientes números complejos.
1) 2+6i 2) -3+5i 3) -4-8i 4)1/2 – 7i

Importante para recordar
Ángulo de referencia
1er. Cuadrante; r =
2do. Cuadrante; r = -
3er. Cuadrante; r = - o +
4to. Cuadrante; r = -




2do cuad 1er cuad
(-a, b) (a, b)
r = - r =

3er cuad 4to cuad
(-a, -b) (a, -b)r = - o + r = -


Nota:
Si una de las componentes es cero (0), se trata de un angul cuadrantal: (, , , , ), por tanto, se pueden presentar las siguientes situaciones:
1) (a, 0) = 0 y
2) (-a, 0) =
3) (0, b) =
4) (0, -b) =

Funciones importantes



=

Tan = =


0

= 1

Tan = 0





Tan = 1



=

Tan =

1
= 0
Tan =

0

=

Tan = 0= 0

Tan =






d) Forma polar o módulo argumental (R):
De la figura general podemos concluir que:

P (a, b)

R B

1 a

En la gráfica anterior el vector “R”, se llama “módulo del número complejo” y en ángulo “”, se llama “argumento”.

Para determinar la longitud del módulo “R” (Hipotenusa), emplearemos el “Teorema de Pitágoras”, que nos dice: R= .

Para determinar la medida del argumento“”, emplearemos la expresión:
= arc tan (b/a)
Se lee: “alfa es el arco cuya tangente es el cociente entre b y a.

Para expresar un número complejo en forma polar, primero se busca el módulo “R” y el argumento () y luego, se sustituyen los valores obtenidos en la forma general (R)

e) Forma factorial o trigonométrica (Rcis):
A partir de la figura general tenemos que:
1) Sen = b/R b = R Sen
2)...