Lotemasinteresantes

CAP´
ITULO I.
GEOMETR´ DEL
IA
ESPACIO EUCL´
IDEO

SECCIONES
1. Vectores. Operaciones con vectores.
2. Rectas y planos en R3 .
3. Curvas y superficies en R3 .
4. Nociones de topolog´ m´trica.
ıa e

1

1. VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES.

En este curso se estudian las funciones f : Rn → Rm , es decir, funciones
definidas sobre el espacio eucl´
ıdeo de dimensi´n n
o
Rn = {(x1, . . . , xn ) : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n},

y con imagen en el espacio an´logo de dimensi´n m, Rm .
a
o
Como la representaci´n gr´fica de estas funciones debe hacerse en el espacio
o
a
Rn+m , debemos recordar en primer lugar los resultados fundamentales de la
geometr´ del espacio eucl´
ıa
ıdeo real Rn .
Como es usual, estableceremos la equivalencia entre los puntos P = (x1 , . . . , xn )
−→
→−
de Rn y los vectores libres − = OP que unen el origen con el punto P .
v
Las operaciones b´sicas que se definen en el espacio Rn son las siguiena
tes:
→
→
Suma de vectores. Dados − = (x1 , . . . , xn ), − = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ,
v
w
→→
− + − = (x + y , . . . , x + y ).
v
w
1
1
n
n
→
Multiplicaci´n por un escalar. Dados a ∈ R, − = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
o
v
→
a−= (ax1 , . . . , axn ).
v
→
Producto escalar de vectores. Dados dos vectores − = (x1 , . . . , xn ),
v
→
− = (y , . . . , y ) ∈ Rn ,
w
1
n
→→
− · − = (x y , . . . , x y ).
vw
11
nn
Con estas operaciones, Rn tiene estructura de espacio vectorial (de ah´ que
ı
los elementos de Rn reciban el nombre de vectores, a diferencia de los elementos de R que llamaremos escalares).
Todovector de Rn puede descomponerse de forma unica como combinaci´n
´
o
lineal de los vectores
− = (1, 0, . . . , 0),
→
u1
− = (0, 1, . . . , 0),
→
u2
...
......
− = (0, 0, . . . , 1),
→
un
los cuales corresponden a las direcciones de los ejes de coordenadas rectangulares. Estos vectores forman lo que llamamos la base can´nica de Rn .
o
El producto escalar verifica las siguientespropiedades b´sicas:
a
2

→→
→
i) − · − > 0 si − = 0;
vv
v
→→
→
ii) − · − = 0 si − = 0;
vv
v
→→ →→
iii) − · − = − · − ;
vw
wv
→→
→→→
→
iv) a(− · − ) = (a− ) · − = − · (a− );
vw
v
w
v
w
→→→
→→
→→
v) − · (− + − ) = (− · − ) + (− · − ).
u
v
w
uv
uw
→
Llamamos norma de un vector − = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn al n´mero real posiv
u
tivo
√
→
− = − · − = x2 + · · · + x2 .→→
v
vv
n
1
−
−
→
→
→
Si − = OP , la norma de − representa la distancia del punto P al origen
v
v
de coordenadas.
De forma an´loga, se define la distancia entre dos puntos P y Q como
a
−→ −
−
−
→
d(P, Q) = OQ − OP .
Las siguientes propiedades son resultados importantes.
→→
→
→
→→
Desigualdad triangular: − + − ≤ − + − , ∀− , − ∈ Rn .
v
w
v
w
vw
→→
→
→
→→Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |− · − | ≤ − · − , ∀− , − ∈
vw
v
w
vw
n.
R
→→
→→
→
→
Teorema de Pit´goras: − · − = 0 ⇐⇒ − + − 2 = − 2 + − 2 .
a
vw
vw
v
w
→→
vw
u
Definimos el ´ngulo entre dos vectores − , − ∈ Rn como el n´mero ϑ ∈ [0, π ]
a
tal que

→→
− ·−
vw
cos ϑ = −
→·−.
→
v
w

Esta definici´n proporciona otra f´rmula para el producto escalar de dos
o
o
vectores:
→→− · − = − · − · cos ϑ.
→
→
vw
v
w
→→
En el caso de que ϑ = π/2, los vectores − y − son perpendiculares u ortogonales.
vw
→→
De la definici´n deducimos que, en este caso, − · − = 0.
o
vw
En el caso particular de R3 se define tambi´n el producto vectorial de dos
e
→
− = (x , x , x ) y − = (y , y , y ) como el siguiente vector:
→
vectores v
w
123
123
→→→
−−−
i
jk
→→
− × − = (xy − x y , x y − x y , x y − x y ) =
v
w
x1 x2 x3 ,
23
32 31
13 12
21
y1 y2 y 3
→
−
−
→
→
−
donde denotamos, como es usual, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1)
a los vectores unitarios de la base can´nica.
o
3

Destacaremos las siguientes propiedades b´sicas del producto vectorial:
a
→→
→
1) − × − = 0, ∀− ∈ R3 .
v
v
v
→→
→ → →→
2) − × − = −− × − , ∀− , −...