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RECÍPROCO DE PITÁGORAS1

Mario Dalcín
Instituto de Profesores Artigas.
Montevideo. (Uruguay)
filomate@adinet.com.uy

RESUMEN
BUSCAMOS RESCATAR DEL OLVIDO AL RECÍPROCO DE PITÁGORAS Y
ALGUNOS DE SUS ANTECEDENTES.

INTRODUCCIÓN
En el papiro de Kahun, de alrededor del 2200 a. C., se encuentran las cuatro ternas
pitagóricas siguientes:
62 + 82 = 102
122 + 162 = 202
(1 ½ )2 + 22 = (2 ½)2
(3/4)2 + 1 = (1 ¼ )2
Todas remiten a la terna 32 + 42 = 52, en el caso de las dos primeras se obtienen a partir de
esta por sucesivas duplicaciones, las dos últimas por sucesivas divisiones entre dos.

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El presente trabajo fue realizado en el marco del curso Enseñar geometría con su historia-Desde los orígenes
hasta la Edad Media, impartido por las profesoras Irene Zapico y SilviaTajeyan. El curso fue organizado por
Soarem y se realizó en la modalidad virtual en los meses marzo-abril de 2007.

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Para algunos historiadores esto es indicio de que los egipcios estaban en conocimiento tanto
del teorema de Pitágoras como de su recíproco, al menos en el caso del triángulo de lados 3,
4, 5 y que este conocimiento era usado para la construcción de ángulos rectos medianteuna
cuerda a la que se le ataban once nudos igualmente espaciados.
Otros autores sostienen que para trazar perpendiculares no es necesario recurrir al triángulo
de lados 3, 4, 5.
“Basta construir dos oblicuas iguales a partir de la recta
en la que se quiere levantar la perpendicular y unir el
punto de intersección de estas dos oblicuas con el centro
de esta recta.”
(Rey, 1959, pág. 150)
Máscontundente aún, Sarton (1970) nos dice:
“La referencia más curiosa a la matemática egipcia es la de Demócrito de
Abdera (V a. C.), trasmitida desgraciadamente por un testimonio muy
posterior: uno de los Padres de la Iglesia, Clemente de Alejandría (155-220).
Según Clemente, Demócrito declaró:
He vagabundeado por más lugares que cualquier hombre de mi tiempo,
investigando en los sitios másapartados. He visto la mayoría de los cielos y
de las tierras, y he oído a gran número de hombres sabios. Pero nadie me ha
superado en composición y en demostración, ni aquellos entre los egipcios
llamados harpedonaptai, con todos los cuales he vivido en el exilio hasta los
ochenta años.
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¿Quiénes fueron estos harpedonaptai o tendedores de cuerdas? ¿Fueron
agrimensores o arquitectos?Se ha sugerido que conocían el arte de trazar
perpendiculares en el terreno mediante una cuerda dividida por cuatro nudos
en la proporción 3, 4, 5. Esto es posible, pero nada lo prueba. Es probable
que fueran agrimensores encargados de fijar la orientación adecuada de los
edificios, a la cual los antiguos egipcios atribuían profunda importancia
religiosa. La ceremonia del "tendido de lacuerda" (término egipcio) era la
determinación astronómica del eje de un templo según el meridiano. Un
sacerdote o un ayudante tomaba la posición de la estrella polar a través de
un bastón con una hendidura; otro, frente a él, con una plomada se iba
moviendo hasta que la línea de la plomada y la estrella coincidieran en la
misma dirección. Entonces cada uno plantaba una estaca en el suelo, y unacuerda tendida entre las dos estacas determinaba el meridiano. Es posible que
la dirección perpendicular este-oeste se determinara después mediante una
cuerda 3, 4, 5, conforme se ha sugerido arriba, o de otra manera2. La
cooperación de los tendedores de cuerdas podía solicitarse frecuentemente
durante la construcción de un gran edificio, o de cualquier otro proyecto
arquitectónico. Los mismostendedores de cuerdas también podían ser
empleados, o no, para la redeterminación de los límites de los terrenos
después de las creciente. Es notable que no hayamos oído hablar más de ellos
en la literatura griega”
(Sarton, 1970, pp. 139-141)

En el papiro Cairo figuran dos nuevas ternas pitagóricas3:
52 + 122 = 132

2

Por ejemplo: trazar una perpendicular al meridiano por O....