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EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).
1.- (r, ө) son las coordenadas polares de laproyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).
Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.Cilíndricas a rectangulares.
X = r cos ө, y = r sen ө, z = z
Rectangulares a cilindricas:
R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z.
El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de unpunto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

Ejemplo 1:
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).
Solución:
Con las formulas de conversión decilíndricas a rectangulares obtenemos.
X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = −2 (√3).
Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3
Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (−2)( √ 3, 2,2).

Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:
a) x2 + y2 =4z2
b) y2 = x
Solución a)
Por lasección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos hojas» con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas.
x2 +y2 =4z2 ecuación encoordenadas rectangulares.
r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.
Solución b)
La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos:
y2 = x ecuación rectangular.
r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.
r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar
r sen2 ө –cos ө =0 dividir los dos mienbros por r
r =cos ө / sen2 ө despejar r
r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas.
Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al...