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Método de Cardano
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El método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545 publicado por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione delFerro (1465-1526) y Niccolò Fontana (1500-1557), éste último apodado Tartaglia (que significa tartamudo). El método es el siguiente.
Contenido[ocultar] * 1 Estrategia general del método * 1.1 Resolución * 1.1.1 Si Δ es positivo * 1.1.2 Si Δ es cero * 1.1.3 Si Δ es negativo * 2 Aplicaciones del método de Cardano * 3 Véase también * 4 Referencias * 5 Enlacesexternos |
[editar] Estrategia general del método
La ecuación general de tercer grado

con números reales y se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo que queda:

Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,
y
La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por elmétodo de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial , las soluciones de la ecuación original.
[editar] Resolución
Partiendo de la ecuación

se realiza una sustitución del tipo .Entonces

Para hacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:

que también es equivalente al sistema de ecuaciones y . Llegado a este punto y utilizando las fórmulas deViète, y son las soluciones de la ecuación de segundo grado

De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.
[editar] Si Δ es positivo
La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

La única solución real es entonces . Además, existen dos soluciones complejasconjugadas :

[editar] Si Δ es cero
La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

[editar] Si Δ es negativo
La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde y ; es el siguiente conjunto :La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose :

[editar] Aplicaciones del método de Cardano
El método de Cardano sirve para resolver cualquier ecuación cúbica que se presente en cualquier área de las Ciencias como, por ejemplo, para resolver las ecuaciones cúbicas de estado que aparecen en la termodinámica y la fisicoquímica, donde las tres raícesson válidas matemáticamente,pero sólo dos de ellas son válidas físicamente, pues la de menor magnitud, si es que se ha desarrollado la ecuación cúbica en el volumen molar, representa el volumen molar de líquido, mientras que la mayor representa el volumen molar de vapor y la raíz intermedia en magnitud no tiene significado físico. Las mismas interpretaciones se hacen si las ecuaciones sedesarrollan cúbicas en el factor de compresibilidad, denotado como Z.
Lema de Zorn
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El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:
Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior,contiene al menos un elemento maximal.
Debe su nombre al matemático Max Zorn.
Los términos se definen como sigue. Supóngase que (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado. Un subconjunto T de P es totalmente ordenado si para cualesquiera s, t ∈ T se tiene s ≤ t o t ≤ s. Tal conjunto T tiene una cota superior u ∈ P si t ≤ u para cualquier t ∈ T; no se necesita que u sea miembro de T. Un elemento...