Lugar De Las Raices

Tema 2.5: Análisis basado en el método del Lugar de las Raíces
1. 2. 3. 4.

Lugar de las Raíces Trazado de la gráfica Lugar de las raíces generalizado Diseño de controladores

1. El lugar de las raíces
Objetivo: análisis del efecto de un parámetro en los polos del sistema en B.C para:
Analizar como varía el comportamiento del sistema (ej: estabilidad) Diseñar controladores en base a unparámetro conforme a unas especificaciones

Método del lugar de las raíces: (W. R. Evans, 1948) Ceros de GBC -> Ceros de GBA Polos de GBC -> Ceros de (1+GBA)
R + E K C(s)
Controlador

U

G(s)
Sistema

Y

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

1. Lugar de las raíces
Caracterización
• Analíticamente: imposible para orden alto
•Gráficamente: Curva parametrizada en K

Criterio del argumento

Criterio de módulo

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

1. Lugar de las raíces
Caracterización
R + E K C(s)
Controlador

U

G(s)
Sistema

Y

Los polos del sistema realimentado son:
K=1

x x x
-2 -1

K>1

x

x x

Lugar de las Raíces
K=0
Depto.Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

x
K ∞, las raíces son los ceros de GBA(s) (N(s)=0)
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

2. Trazado de la gráfica
Paso 1: Ubicar polos y ceros de GBA(s)
El LR parte de los polos de GBA(s) -> existen tantas ramas como polos en BA (n) El LR (ramas)tienden:
m ramas tienden a los ceros GBA(s) (m ) n-m ramas tienden al infinito de forma asintótica
6 4 Imaginary Axis 2 0 -2 Root Locus

x → polo o → cero

-4 -6 -7

-6

-5

-4

-3

-2 -1 Real Axis

0

1

2

3

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

2. Trazado de la gráfica
Paso 2: Determinar el LR sobre el eje real
6Root Locus

4

so ∈ LR si el Nº de ceros y polos reales a su derecha es impar (K>0)

Imaginary Axis

2

0

-2

-4

-6 -7

-6

-5

-4

-3

-2 -1 Real Axis

0

1

2

3

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

2. Trazado de la gráfica
Paso 3: Cálculo de asíntotas
n ramas m ramas tienden a los ceros n-m ramastienden asintóticamente al infinito

Cálculo del ángulo de las asíntotas:
Se elige un punto de prueba s muy alejado del origen y se calcula el límite de G(s) cuando s→∞.

Intersección con eje real (centroide):
Todas las asíntotas interceptan en el mismo punto al eje real.

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

2. Trazado de lagráfica
Paso 3: Cálculo de asíntotas

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

2. Trazado de la gráfica
Paso 3: Cálculo de asíntotas

Ejemplo
Root Locus

6 4 Imaginary Axis 2 0 -2 -4 -6 -7

-6

-5

-4

-3

-2 -1 Real Axis

0

1

2

3

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec.ESI.US.

2. Trazado de la gráfica
Paso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida al eje real hacia el plano complejo

Los puntos de ruptura son polos DOBLES que:
Anulan el denominador

Anulan la derivada del denominador

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.

2. Trazado de la gráfica
Paso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida aleje real hacia el plano complejo Reglas:
Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos polos adyacentes, punto de ruptura de salida Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos ceros adyacentes, punto de ruptura de entrada (incluido el -∞) Salida y entrada con 90º Root Locus
6 4 Imaginary Axis 2 0 -2

Punto de entrada

Punto de salida

-4 -6 -7

-6

-5

-4...