Lugar De Las Raices
Sistemas lineales y teor´ de control ıa
Introducci´n o Lugar de las ra´ ıces Sistemas condicionalmente estables Sistemas con realimentaci´n o positiva Sistemas con retardo de transporte
Sistemas lineales y teor´ de control ıa
An´lisis del Lugar de las Ra´ a ıces
Eloy Anguiano Rey eloy.anguiano@uam.es
Introducci´n o
Sistemas lineales y teor´ de control ıaIntroducci´n o Lugar de las ra´ ıces Sistemas condicionalmente estables Sistemas con realimentaci´n o positiva Sistemas con retardo de transporte
Las caracter´ ısticas b´sicas de un sistema en lazo cerrado est´n a a relacionadas con la localizaci´n de los polos en lazo cerrado. o En muchos casos, una simple variaci´n de la ganancia mueve o los polos a las posiciones deseadas. El problema dedise˜o se reduce en estos casos a encontrar la n ganancia adecuada. En otros casos no es posible y, por tanto, es necesario a˜adir n un compensador al sistema. En la mayor´ de los casos, calcular la posici´n de los polos es ıa o laborioso. Si cambiando la ganancia cambia la posici´n de los polos, los o c´lculos deben repetirse. a W.R. Evans dise˜´ un m´todo sencillo: “m´todo del lugar de no e e las ra´ıces”. El par´metro variable suele ser la ganancia pero puede ser a cualquier otro.
Lugar de las ra´ ıces
Sistemas lineales y teor´ de control ıa Introducci´n o Lugar de las ra´ ıces Gr´fica a ´ Angulo y amplitud de un punto s Reglas de construcci´n o Sistemas condicionalmente estables Sistemas con realimentaci´n o positiva Sistemas con retardo de transporte
Los polos son los valores de s quehacen que la funci´n de o transferencia en lazo abierto valga -1. El lugar de las ra´ son todos aquellos valores s que anulan ıces la ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema en lazo cerrado seg´n se u var´ un determinado par´metro (t´ ıa a ıpicamente la ganancia del sistema K) var´ entre 0 e infinito. ıa Al dise˜ar un sistema de control el m´todo del lugar de las n e ra´ permite calcular la forma enla que deben modificar los ıces ceros y polos en lazo abierto para que el sistema cumpla las caracter´ ısticas deseadas.
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Gr´fica a
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Consid´rese el siguiente sistema: e C (s) G (s) = R(s) 1 + G (s)H(s) La ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema es 1 + G (s)H(s) = 0 o bien G (s)H(s) = −1 Se supone que G (s)H(s) es un cociente depolinomios. Para que se d´ la igualdad deben de cumplirse dos e condiciones simult´neamente: a
Condici´n de ´ngulo o a G (S)H(s) = ±(2k + 1)π para (k = 0, 1, 2, . . . ) Condici´n de m´dulo |G (s)H(s)| = 1 o o
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La gr´fica del lugar de las ra´ son todos aquellos puntos a ıces que cumplen exclusivamente la condici´n de ´ngulo. o a
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En muchos casos la ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema puede expresarse como: (s + z1 )(s + z2 ) · · · (s + zm ) = −1 (s + p1 )(s + p2 ) · · · (s + pn ) Entonces el lugar de las ra´ del polinomio caracter´ ıces ıstico es el lugar de los polos en lazo cerrado (cuando 0 ≤ K < ∞). Para empezar a dibujar el lugar de las ra´ es necesario ıces conocer la localizaci´n de lospolos y ceros de G (s)H(s). o
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´ Angulo y amplitud de un punto s
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Para calcular el ´ngulo y la amplitud de G (s)H(s)...
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